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Theorem cfilresi 21903
Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )
)

Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 21036 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
2 iscfil2 21874 . . . . 5  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  <->  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x ) ) )
32simplbda 622 . . . 4  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x )
41, 3sylan 469 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
5 cfilfil 21875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) ) )
61, 5sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) ) )
7 filelss 20522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y
) )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  ( X  i^i  Y
) )
86, 7sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  y  C_  ( X  i^i  Y ) )
9 inss2 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
108, 9syl6ss 3501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  y  C_  Y )
1110sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  u  e.  y )  ->  u  e.  Y )
1210sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  v  e.  y )  ->  v  e.  Y )
1311, 12anim12dan 835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )
14 ovres 6415 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
1615breq1d 4449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
17162ralbidva 2896 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
1817rexbidva 2962 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
1918ralbidv 2893 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
204, 19mpbid 210 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  x
)
21 filfbas 20518 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  ->  F  e.  (
fBas `  ( X  i^i  Y ) ) )
226, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  i^i  Y ) ) )
23 filsspw 20521 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  ->  F  C_  ~P ( X  i^i  Y ) )
246, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  C_ 
~P ( X  i^i  Y ) )
25 inss1 3704 . . . . . 6  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
26 sspwb 4686 . . . . . 6  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  <->  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X )
2725, 26mpbi 208 . . . . 5  |-  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X
2824, 27syl6ss 3501 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  C_ 
~P X )
29 elfvdm 5874 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
3029adantr 463 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
31 fbasweak 20535 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  dom  *Met )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
3222, 28, 30, 31syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
33 fgcfil 21879 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
3432, 33syldan 468 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( X filGen F )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u D v )  <  x ) )
3520, 34mpbird 232 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   dom cdm 4988    |` cres 4990   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    < clt 9617   RR+crp 11221   *Metcxmt 18601   fBascfbas 18604   filGencfg 18605   Filcfil 20515  CauFilccfil 21860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-xmet 18610  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-fil 20516  df-cfil 21863
This theorem is referenced by:  cfilres  21904  cmetss  21922
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