MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilresi Structured version   Unicode version

Theorem cfilresi 20828
Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )
)

Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 19961 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
2 iscfil2 20799 . . . . 5  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  ->  ( F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  <->  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x ) ) )
32simplbda 624 . . . 4  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x )
41, 3sylan 471 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
5 cfilfil 20800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) ) )
61, 5sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) ) )
7 filelss 19447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y
) )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  ( X  i^i  Y
) )
86, 7sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  y  C_  ( X  i^i  Y ) )
9 inss2 3592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
108, 9syl6ss 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  y  C_  Y )
1110sselda 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  u  e.  y )  ->  u  e.  Y )
1210sselda 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  v  e.  y )  ->  v  e.  Y )
1311, 12anim12dan 833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )
14 ovres 6251 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
1615breq1d 4323 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  /\  ( u  e.  y  /\  v  e.  y ) )  -> 
( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
17162ralbidva 2776 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  /\  y  e.  F
)  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
1817rexbidva 2753 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
1918ralbidv 2756 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
204, 19mpbid 210 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  x
)
21 filfbas 19443 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  ->  F  e.  (
fBas `  ( X  i^i  Y ) ) )
226, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  ( X  i^i  Y ) ) )
23 filsspw 19446 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  ( X  i^i  Y ) )  ->  F  C_  ~P ( X  i^i  Y ) )
246, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  C_ 
~P ( X  i^i  Y ) )
25 inss1 3591 . . . . . 6  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
26 sspwb 4562 . . . . . 6  |-  ( ( X  i^i  Y ) 
C_  X  <->  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X )
2725, 26mpbi 208 . . . . 5  |-  ~P ( X  i^i  Y )  C_  ~P X
2824, 27syl6ss 3389 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  C_ 
~P X )
29 elfvdm 5737 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
3029adantr 465 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  X  e.  dom  *Met )
31 fbasweak 19460 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  ( X  i^i  Y
) )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  dom  *Met )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
3222, 28, 30, 31syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
33 fgcfil 20804 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
x ) )
3432, 33syldan 470 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( X filGen F )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u D v )  <  x ) )
3520, 34mpbird 232 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen F )  e.  (CauFil `  D )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   dom cdm 4861    |` cres 4863   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    < clt 9439   RR+crp 11012   *Metcxmt 17823   fBascfbas 17826   filGencfg 17827   Filcfil 19440  CauFilccfil 20785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-2 10401  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-xmet 17832  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-fil 19441  df-cfil 20788
This theorem is referenced by:  cfilres  20829  cmetss  20847
  Copyright terms: Public domain W3C validator