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Theorem cfilres 21608
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )

Proof of Theorem cfilres
Dummy variables  u  s  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 filfbas 20222 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
4 simp3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  Y  e.  F )
5 fbncp 20213 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
7 filelss 20226 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
873adant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  Y  C_  X
)
9 trfil3 20262 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
101, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
116, 10mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( Ft  Y
)  e.  ( Fil `  Y ) )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y
) )
13 cfili 21580 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  < 
x )
1413adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  < 
x )
15 simpll2 1037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
16 simpll3 1038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  Y  e.  F )
1715, 16jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F ) )
18 elrestr 14703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
19183expa 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
2017, 19sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
21 inss1 3703 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  i^i  Y )  C_  s
22 ssralv 3549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2322ralimdv 2853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  s  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
24 ssralv 3549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  (
s  i^i  Y ) A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2523, 24syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  (
s  i^i  Y ) A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2621, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
)
27 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  u  e.  Y )
2927sseli 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  v  e.  Y )
30 ovres 6427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
3130breq1d 4447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
3228, 29, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( s  i^i  Y )  /\  v  e.  ( s  i^i  Y ) )  -> 
( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
3332ralbidva 2879 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
) )
3433ralbiia 2873 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( s  i^i  Y ) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
)
3526, 34sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
36 raleq 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x ) )
3736raleqbi1dv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x ) )
3837rspcev 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  /\  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
)
3938ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y )  ->  ( A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4020, 35, 39syl2im 38 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4140rexlimdva 2935 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4214, 41mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
)
4342ralrimiva 2857 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
44 simp1 997 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
45 xmetres2 20737 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
4644, 8, 45syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
4746adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
48 iscfil2 21578 . . . . 5  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) ) )
4947, 48syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) ) )
5012, 43, 49mpbir2and 922 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
5150ex 434 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  ->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
52 cfilresi 21607 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
)
5352ex 434 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
) )
54533ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
) )
55 fgtr 20264 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  =  F )
56553adant1 1015 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  =  F )
5756eleq1d 2512 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )  <->  F  e.  (CauFil `  D ) ) )
5854, 57sylibd 214 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  F  e.  (CauFil `  D ) ) )
5951, 58impbid 191 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    X. cxp 4987    |` cres 4991   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    < clt 9631   RR+crp 11229   ↾t crest 14695   *Metcxmt 18277   fBascfbas 18280   filGencfg 18281   Filcfil 20219  CauFilccfil 21564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-2 10600  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ico 11544  df-rest 14697  df-xmet 18286  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-fil 20220  df-cfil 21567
This theorem is referenced by:  cmetss  21626
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