MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilres Structured version   Unicode version

Theorem cfilres 20829
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )

Proof of Theorem cfilres
Dummy variables  u  s  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 filfbas 19443 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
4 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  Y  e.  F )
5 fbncp 19434 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
63, 4, 5syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
7 filelss 19447 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
873adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  Y  C_  X
)
9 trfil3 19483 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
101, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
116, 10mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( Ft  Y
)  e.  ( Fil `  Y ) )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y
) )
13 cfili 20801 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  < 
x )
1413adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  < 
x )
15 simpll2 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
16 simpll3 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  Y  e.  F )
1715, 16jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F ) )
18 elrestr 14388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
19183expa 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
2017, 19sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
21 inss1 3591 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  i^i  Y )  C_  s
22 ssralv 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2322ralimdv 2816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  s  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
24 ssralv 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  (
s  i^i  Y ) A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2523, 24syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  i^i  Y ) 
C_  s  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  A. u  e.  (
s  i^i  Y ) A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u D v )  <  x ) )
2621, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
)
27 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  u  e.  Y )
2927sseli 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  v  e.  Y )
30 ovres 6251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  =  ( u D v ) )
3130breq1d 4323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
3228, 29, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( s  i^i  Y )  /\  v  e.  ( s  i^i  Y ) )  -> 
( ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  ( u D v )  < 
x ) )
3332ralbidva 2752 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. v  e.  (
s  i^i  Y )
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
) )
3433ralbiia 2768 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  ( s  i^i  Y ) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u D v )  <  x
)
3526, 34sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
36 raleq 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x ) )
3736raleqbi1dv 2946 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( s  i^i 
Y )  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) v )  <  x  <->  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x ) )
3837rspcev 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  /\  A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
)
3938ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y )  ->  ( A. u  e.  ( s  i^i  Y
) A. v  e.  ( s  i^i  Y
) ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4020, 35, 39syl2im 38 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4140rexlimdva 2862 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  F  A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) )
4214, 41mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  F  e.  (CauFil `  D )
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
)
4342ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x )
44 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
45 xmetres2 19958 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
4644, 8, 45syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
4746adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
48 iscfil2 20799 . . . . 5  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) ) )
4947, 48syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  <->  ( ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( Ft  Y ) A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u
( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) v )  <  x
) ) )
5012, 43, 49mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
5150ex 434 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  ->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
52 cfilresi 20828 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
)
5352ex 434 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
) )
54533ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )
) )
55 fgtr 19485 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  =  F )
56553adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( X filGen ( Ft  Y ) )  =  F )
5756eleq1d 2509 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( X filGen ( Ft  Y ) )  e.  (CauFil `  D )  <->  F  e.  (CauFil `  D ) ) )
5854, 57sylibd 214 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  ->  F  e.  (CauFil `  D ) ) )
5951, 58impbid 191 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( Ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3346    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    X. cxp 4859    |` cres 4863   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    < clt 9439   RR+crp 11012   ↾t crest 14380   *Metcxmt 17823   fBascfbas 17826   filGencfg 17827   Filcfil 19440  CauFilccfil 20785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-2 10401  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-rest 14382  df-xmet 17832  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-fil 19441  df-cfil 20788
This theorem is referenced by:  cmetss  20847
  Copyright terms: Public domain W3C validator