MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfili Structured version   Unicode version

Theorem cfili 20895
Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfili  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
Distinct variable groups:    x, y,
z, F    x, R, y, z    x, D, y, z

Proof of Theorem cfili
Dummy variables  f 
r  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cfil 20882 . . . . . . . 8  |- CauFil  =  ( d  e.  U. ran  *Met  |->  { f  e.  ( Fil `  dom  dom  d )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( d " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) } )
21dmmptss 5432 . . . . . . 7  |-  dom CauFil  C_  U. ran  *Met
3 elfvdm 5815 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  dom CauFil )
42, 3sseldi 3452 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  U.
ran  *Met )
5 xmetunirn 20028 . . . . . 6  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
64, 5sylib 196 . . . . 5  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D ) )
7 iscfil2 20893 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  -> 
( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom 
D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
r ) ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( F  e.  (CauFil `  D )  <->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom  D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y D z )  <  r ) ) )
98ibi 241 . . 3  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  dom  dom 
D )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
r ) )
109simprd 463 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r
)
11 breq2 4394 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
( y D z )  <  r  <->  ( y D z )  < 
R ) )
12112ralbidv 2861 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r  <->  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R ) )
1312rexbidv 2844 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  <  r  <->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R ) )
1413rspccva 3168 . 2  |-  ( ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y D z )  <  r  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
1510, 14sylan 471 1  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  F  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y D z )  < 
R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799    C_ wss 3426   U.cuni 4189   class class class wbr 4390    X. cxp 4936   dom cdm 4938   ran crn 4939   "cima 4941   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   0cc0 9383    < clt 9519   RR+crp 11092   [,)cico 11403   *Metcxmt 17910   Filcfil 19534  CauFilccfil 20879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-2 10481  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ico 11407  df-xmet 17919  df-fbas 17923  df-fil 19535  df-cfil 20882
This theorem is referenced by:  cfil3i  20896  fgcfil  20898  iscmet3  20920  cfilres  20923
  Copyright terms: Public domain W3C validator