Theorem cfilfil 21791

Description: A Cauchy filter is a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilfil	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )

Proof of Theorem cfilfil

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscfil 21789	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )
2	1	simprbda 621	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   C_ wss 3389   X. cxp 4911   "cima 4916   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   0cc0 9403   RR+crp 11139   [,)cico 11452   *Metcxmt 18516   Filcfil 20431  CauFilccfil 21776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-map 7340  df-xr 9543  df-xmet 18525  df-cfil 21779

This theorem is referenced by:  cfil3i  21793  iscfil3  21797  cfilfcls  21798  iscmet3  21817  cfilresi  21819  cmetss  21838  relcmpcmet  21840  cfilucfil4OLD  21844  cfilucfil4  21845  fmcncfil  28067