MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilfcls Structured version   Unicode version

Theorem cfilfcls 21839
Description: Similar to ultrafilters (uffclsflim 20658), the cluster points and limit points of a Cauchy filter coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cfilfcls.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
cfilfcls.2  |-  X  =  dom  dom  D
Assertion
Ref Expression
cfilfcls  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  =  ( J  fLim  F )
)

Proof of Theorem cfilfcls
Dummy variables  x  y  z  f  r 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
21fclselbas 20643 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( J  fClus  F )  ->  x  e.  U. J )
32adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  U. J )
4 df-cfil 21820 . . . . . . . . . . . . 13  |- CauFil  =  ( d  e.  U. ran  *Met  |->  { f  e.  ( Fil `  dom  dom  d )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( d " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) } )
54dmmptss 5509 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom CauFil  C_  U. ran  *Met
6 elfvdm 5898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  dom CauFil )
75, 6sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  U.
ran  *Met )
8 xmetunirn 20966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
97, 8sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D ) )
10 cfilfcls.2 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  dom  dom  D
1110fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( *Met `  X )  =  ( *Met ` 
dom  dom  D )
129, 11syl6eleqr 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
14 cfilfcls.1 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1514mopntopon 21068 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1613, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
17 toponuni 19555 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  X  =  U. J )
193, 18eleqtrrd 2548 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  X )
2014mopni2 21122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
21203expb 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) r )  C_  y )
2213, 21sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) r )  C_  y )
23 cfilfil 21832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2412, 23mpancom 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2713adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
28 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F  e.  (CauFil `  D )
)
29 rphalfcl 11269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
31 rphalfcl 11269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
33 cfil3i 21834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  X  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
)
3427, 28, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  X  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
)
3525ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
36 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F )
3727adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3819ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  X )
39 rpxr 11252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
r  e.  RR* )
41 blssm 21047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4237, 38, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
43 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  ( J  fClus  F ) )
4430adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR+ )
45 rpxr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR* )
4714blopn 21129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
4837, 38, 46, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
49 blcntr 21042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
5037, 38, 44, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  ( x
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
51 fclsopni 20642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J  /\  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
) )  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  =/=  (/) )
5243, 48, 50, 36, 51syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  =/=  (/) )
53 n0 3803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  =/=  (/) 
<->  E. z  z  e.  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  E. z  z  e.  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
55 elin 3683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  <->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
5637adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
57 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  y  e.  X )
5844adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
60 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )
61 blhalf 21034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( r  /  2
)  e.  RR  /\  z  e.  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
6256, 57, 59, 60, 61syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
63 blssm 21047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  X )
6437, 38, 46, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  X )
6564sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  z  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  z  e.  X
)
6665adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  X )
67 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
6867rpred 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  r  e.  RR )
69 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
7058, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
7138adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  X )
72 blcom 21023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( r  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
7356, 70, 71, 66, 72syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
7469, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  ( z ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
75 blhalf 21034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  z  e.  X )  /\  (
r  e.  RR  /\  x  e.  ( z
( ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( z (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7656, 66, 68, 74, 75syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( z
( ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7762, 76sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7877ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
7955, 78syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( z  e.  ( ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) )
8079exlimdv 1725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( E. z  z  e.  ( ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
8154, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
82 filss 20480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F  /\  (
x ( ball `  D
) r )  C_  X  /\  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
8335, 36, 42, 81, 82syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  F )
8434, 83rexlimddv 2953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  D
) r )  e.  F )
8584ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
)
86 toponss 19557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
8786adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  ->  y  C_  X )
8816, 87sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  C_  X )
8988adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  y  C_  X
)
90 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
91 filss 20480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  F  /\  y  C_  X  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  F )
9226, 85, 89, 90, 91syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  y  e.  F
)
9322, 92rexlimddv 2953 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  e.  F )
9493expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  y  -> 
y  e.  F ) )
9594ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) )
96 flimopn 20602 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
9716, 25, 96syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
9819, 95, 97mpbir2and 922 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F ) )
9998ex 434 . . 3  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( x  e.  ( J  fClus  F )  ->  x  e.  ( J  fLim  F )
) )
10099ssrdv 3505 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  C_  ( J  fLim  F ) )
101 flimfcls 20653 . . 3  |-  ( J 
fLim  F )  C_  ( J  fClus  F )
102101a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( J  fClus  F ) )
103100, 102eqssd 3516 1  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  =  ( J  fLim  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   RR*cxr 9644    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   [,)cico 11556   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535  TopOnctopon 19522   Filcfil 20472    fLim cflim 20561    fClus cfcls 20563  CauFilccfil 21817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-fil 20473  df-flim 20566  df-fcls 20568  df-cfil 21820
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  21881
  Copyright terms: Public domain W3C validator