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Theorem cfilfcls 22186
Description: Similar to ultrafilters (uffclsflim 20988), the cluster points and limit points of a Cauchy filter coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cfilfcls.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
cfilfcls.2  |-  X  =  dom  dom  D
Assertion
Ref Expression
cfilfcls  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  =  ( J  fLim  F )
)

Proof of Theorem cfilfcls
Dummy variables  x  y  z  f  r 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
21fclselbas 20973 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( J  fClus  F )  ->  x  e.  U. J )
32adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  U. J )
4 df-cfil 22167 . . . . . . . . . . . . 13  |- CauFil  =  ( d  e.  U. ran  *Met  |->  { f  e.  ( Fil `  dom  dom  d )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( d " ( y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x
) } )
54dmmptss 5293 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom CauFil  C_  U. ran  *Met
6 elfvdm 5851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  dom CauFil )
75, 6sseldi 3405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  U.
ran  *Met )
8 xmetunirn 21294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
97, 8sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D ) )
10 cfilfcls.2 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  dom  dom  D
1110fveq2i 5828 . . . . . . . . . 10  |-  ( *Met `  X )  =  ( *Met ` 
dom  dom  D )
129, 11syl6eleqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
1312adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
14 cfilfcls.1 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1514mopntopon 21396 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1613, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
17 toponuni 19884 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1816, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  X  =  U. J )
193, 18eleqtrrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  X )
2014mopni2 21450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  J  /\  x  e.  y
)  ->  E. r  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
21203expb 1206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) r )  C_  y )
2213, 21sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) r )  C_  y )
23 cfilfil 22179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2412, 23mpancom 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2524adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2625ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2713adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
28 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  F  e.  (CauFil `  D )
)
29 rphalfcl 11278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
3029adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
31 rphalfcl 11278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( r  /  2 )  /  2 )  e.  RR+ )
33 cfil3i 22181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  (
( r  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  X  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
)
3427, 28, 32, 33syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  X  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
)
3525ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
36 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F )
3727adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3819ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  X )
39 rpxr 11260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4039ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
r  e.  RR* )
41 blssm 21375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
4237, 38, 40, 41syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r ) 
C_  X )
43 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  ( J  fClus  F ) )
4430adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR+ )
45 rpxr 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( r  /  2
)  e.  RR* )
4714blopn 21457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
4837, 38, 46, 47syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J )
49 blcntr 21370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
5037, 38, 44, 49syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  x  e.  ( x
( ball `  D )
( r  /  2
) ) )
51 fclsopni 20972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  e.  J  /\  x  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  e.  F
) )  ->  (
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  =/=  (/) )
5243, 48, 50, 36, 51syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  =/=  (/) )
53 n0 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  =/=  (/) 
<->  E. z  z  e.  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
5452, 53sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  ->  E. z  z  e.  ( ( x (
ball `  D )
( r  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
55 elin 3592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  <->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )
5637adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
57 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  y  e.  X )
5844adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
60 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )
61 blhalf 21362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( r  /  2
)  e.  RR  /\  z  e.  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
6256, 57, 59, 60, 61syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
63 blssm 21375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( r  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  X )
6437, 38, 46, 63syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) 
C_  X )
6564sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  z  e.  ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )  ->  z  e.  X
)
6665adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  X )
67 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
6867rpred 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  r  e.  RR )
69 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
7058, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( r  /  2 )  e. 
RR* )
7138adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  X )
72 blcom 21351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  ( r  /  2 )  e. 
RR* )  /\  (
x  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
7356, 70, 71, 66, 72syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  <-> 
x  e.  ( z ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) ) )
7469, 73mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  ( z ( ball `  D ) ( r  /  2 ) ) )
75 blhalf 21362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  z  e.  X )  /\  (
r  e.  RR  /\  x  e.  ( z
( ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( z (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7656, 66, 68, 74, 75syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( z
( ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7762, 76sstrd 3417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) )
7877ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( ( z  e.  ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  /\  z  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
7955, 78syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( z  e.  ( ( x ( ball `  D ) ( r  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) ) )
8079exlimdv 1772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( E. z  z  e.  ( ( x ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )
8154, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  D )
r ) )
82 filss 20810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( y ( ball `  D ) ( ( r  /  2 )  /  2 ) )  e.  F  /\  (
x ( ball `  D
) r )  C_  X  /\  ( y (
ball `  D )
( ( r  / 
2 )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  D
) r ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
8335, 36, 42, 81, 82syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  X  /\  ( y ( ball `  D
) ( ( r  /  2 )  / 
2 ) )  e.  F ) )  -> 
( x ( ball `  D ) r )  e.  F )
8434, 83rexlimddv 2860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  D
) r )  e.  F )
8584ad2ant2r 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
)
86 toponss 19886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
8786adantrr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
y  e.  J  /\  x  e.  y )
)  ->  y  C_  X )
8816, 87sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  C_  X )
8988adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  y  C_  X
)
90 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  ( x (
ball `  D )
r )  C_  y
)
91 filss 20810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  F  /\  y  C_  X  /\  ( x ( ball `  D
) r )  C_  y ) )  -> 
y  e.  F )
9226, 85, 89, 90, 91syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( x ( ball `  D ) r ) 
C_  y ) )  ->  y  e.  F
)
9322, 92rexlimddv 2860 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  ( y  e.  J  /\  x  e.  y ) )  -> 
y  e.  F )
9493expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  y  -> 
y  e.  F ) )
9594ralrimiva 2779 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) )
96 flimopn 20932 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
9716, 25, 96syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  <->  ( x  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( x  e.  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
9819, 95, 97mpbir2and 930 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F ) )
9998ex 435 . . 3  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( x  e.  ( J  fClus  F )  ->  x  e.  ( J  fLim  F )
) )
10099ssrdv 3413 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  C_  ( J  fLim  F ) )
101 flimfcls 20983 . . 3  |-  ( J 
fLim  F )  C_  ( J  fClus  F )
102101a1i 11 . 2  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fLim  F )  C_  ( J  fClus  F ) )
103100, 102eqssd 3424 1  |-  ( F  e.  (CauFil `  D
)  ->  ( J  fClus  F )  =  ( J  fLim  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   U.cuni 4162    X. cxp 4794   dom cdm 4796   ran crn 4797   "cima 4799   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   RRcr 9489   0cc0 9490   RR*cxr 9625    / cdiv 10220   2c2 10610   RR+crp 11253   [,)cico 11588   *Metcxmt 18898   ballcbl 18900   MetOpencmopn 18903  TopOnctopon 19860   Filcfil 20802    fLim cflim 20891    fClus cfcls 20893  CauFilccfil 22164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ico 11592  df-topgen 15285  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-fil 20803  df-flim 20896  df-fcls 20898  df-cfil 22167
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