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Theorem cfil3i 21443
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Distinct variable groups:    x, F    x, X    x, R    x, D

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 21442 . . 3  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
213adant1 1014 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
3 cfilfil 21441 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
433adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
5 fileln0 20086 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
64, 5sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
7 r19.2z 3917 . . . . . 6  |-  ( ( s  =/=  (/)  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R )  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R )
87ex 434 . . . . 5  |-  ( s  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R ) )
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s 
A. y  e.  s  ( x D y )  <  R ) )
10 filelss 20088 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
114, 10sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
12 ssrexv 3565 . . . . 5  |-  ( s 
C_  X  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
14 dfss3 3494 . . . . . . 7  |-  ( s 
C_  ( x (
ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s  y  e.  ( x ( ball `  D ) R ) )
15 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
17 simpll3 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR+ )
1817rpxrd 11253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR* )
1918adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  R  e.  RR* )
20 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  x  e.  X )
2111adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  s  C_  X )
2221sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  X )
23 elbl2 20628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2524ralbidva 2900 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  s 
y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R ) )
2614, 25syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  (
s  C_  ( x
( ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R ) )
274ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
28 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  s  e.  F )
2915adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
30 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
31 blssm 20656 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
3229, 30, 18, 31syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) R )  C_  X )
33 filss 20089 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
s  e.  F  /\  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  s  C_  ( x ( ball `  D ) R ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F )
34333exp2 1214 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( s  e.  F  ->  ( ( x ( ball `  D
) R )  C_  X  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  ->  ( x (
ball `  D ) R )  e.  F
) ) ) )
3527, 28, 32, 34syl3c 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  (
s  C_  ( x
( ball `  D ) R )  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F ) )
3626, 35sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  -> 
( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
3736reximdva 2938 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
389, 13, 373syld 55 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
3938rexlimdva 2955 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
402, 39mpd 15 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RR*cxr 9623    < clt 9624   RR+crp 11216   *Metcxmt 18174   ballcbl 18176   Filcfil 20081  CauFilccfil 21426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ico 11531  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-bl 18185  df-fbas 18187  df-fil 20082  df-cfil 21429
This theorem is referenced by:  iscfil3  21447  cfilfcls  21448  relcmpcmet  21490
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