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Theorem cfil3i 21834
Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Distinct variable groups:    x, F    x, X    x, R    x, D

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 21833 . . 3  |-  ( ( F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
213adant1 1014 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R )
3 cfilfil 21832 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
433adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
5 fileln0 20477 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
64, 5sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  =/=  (/) )
7 r19.2z 3921 . . . . . 6  |-  ( ( s  =/=  (/)  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R )  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R )
87ex 434 . . . . 5  |-  ( s  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R ) )
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  s 
A. y  e.  s  ( x D y )  <  R ) )
10 filelss 20479 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
114, 10sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
12 ssrexv 3561 . . . . 5  |-  ( s 
C_  X  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R ) )
14 dfss3 3489 . . . . . . 7  |-  ( s 
C_  ( x (
ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s  y  e.  ( x ( ball `  D ) R ) )
15 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
17 simpll3 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR+ )
1817rpxrd 11282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR* )
1918adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  R  e.  RR* )
20 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  x  e.  X )
2111adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  s  C_  X )
2221sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  X )
23 elbl2 21019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  R  e.  RR* )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  ( x D y )  < 
R ) )
2524ralbidva 2893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  s 
y  e.  ( x ( ball `  D
) R )  <->  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R ) )
2614, 25syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  (
s  C_  ( x
( ball `  D ) R )  <->  A. y  e.  s  ( x D y )  < 
R ) )
274ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
28 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  s  e.  F )
2915adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
30 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
31 blssm 21047 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
3229, 30, 18, 31syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) R )  C_  X )
33 filss 20480 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
s  e.  F  /\  ( x ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  s  C_  ( x ( ball `  D ) R ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F )
34333exp2 1214 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( s  e.  F  ->  ( ( x ( ball `  D
) R )  C_  X  ->  ( s  C_  ( x ( ball `  D ) R )  ->  ( x (
ball `  D ) R )  e.  F
) ) ) )
3527, 28, 32, 34syl3c 61 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  (
s  C_  ( x
( ball `  D ) R )  ->  (
x ( ball `  D
) R )  e.  F ) )
3626, 35sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F
)  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  -> 
( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
3736reximdva 2932 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
389, 13, 373syld 55 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
3938rexlimdva 2949 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( E. s  e.  F  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x D y )  <  R  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) R )  e.  F ) )
402, 39mpd 15 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  R  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D ) R )  e.  F
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RR*cxr 9644    < clt 9645   RR+crp 11245   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532   Filcfil 20472  CauFilccfil 21817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ico 11560  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-bl 18541  df-fbas 18543  df-fil 20473  df-cfil 21820
This theorem is referenced by:  iscfil3  21838  cfilfcls  21839  relcmpcmet  21881
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