Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfil3i Structured version   Unicode version

Theorem cfil3i 22181
 Description: A Cauchy filter contains balls of any pre-chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfil3i CauFil
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cfil3i
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 22180 . . 3 CauFil
3 cfilfil 22179 . . . . . . 7 CauFil
433adant3 1025 . . . . . 6 CauFil
5 fileln0 20807 . . . . . 6
64, 5sylan 473 . . . . 5 CauFil
7 r19.2z 3831 . . . . . 6
87ex 435 . . . . 5
96, 8syl 17 . . . 4 CauFil
10 filelss 20809 . . . . . 6
114, 10sylan 473 . . . . 5 CauFil
12 ssrexv 3469 . . . . 5
1311, 12syl 17 . . . 4 CauFil
14 dfss3 3397 . . . . . . 7
15 simpl1 1008 . . . . . . . . . 10 CauFil
1615ad2antrr 730 . . . . . . . . 9 CauFil
17 simpll3 1046 . . . . . . . . . . 11 CauFil
1817rpxrd 11293 . . . . . . . . . 10 CauFil
1918adantr 466 . . . . . . . . 9 CauFil
20 simplr 760 . . . . . . . . 9 CauFil
2111adantr 466 . . . . . . . . . 10 CauFil
2221sselda 3407 . . . . . . . . 9 CauFil
23 elbl2 21347 . . . . . . . . 9
2416, 19, 20, 22, 23syl22anc 1265 . . . . . . . 8 CauFil
2524ralbidva 2801 . . . . . . 7 CauFil
2614, 25syl5bb 260 . . . . . 6 CauFil
274ad2antrr 730 . . . . . . 7 CauFil
28 simplr 760 . . . . . . 7 CauFil
2915adantr 466 . . . . . . . 8 CauFil
30 simpr 462 . . . . . . . 8 CauFil
31 blssm 21375 . . . . . . . 8
3229, 30, 18, 31syl3anc 1264 . . . . . . 7 CauFil
33 filss 20810 . . . . . . . 8
34333exp2 1223 . . . . . . 7
3527, 28, 32, 34syl3c 63 . . . . . 6 CauFil
3626, 35sylbird 238 . . . . 5 CauFil
3736reximdva 2839 . . . 4 CauFil
389, 13, 373syld 57 . . 3 CauFil
3938rexlimdva 2856 . 2 CauFil
402, 39mpd 15 1 CauFil
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wcel 1872   wne 2599  wral 2714  wrex 2715   wss 3379  c0 3704   class class class wbr 4366  cfv 5544  (class class class)co 6249  cxr 9625   clt 9626  crp 11253  cxmt 18898  cbl 18900  cfil 20802  CauFilccfil 22164 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-2 10619  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ico 11592  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-bl 18908  df-fbas 18910  df-fil 20803  df-cfil 22167 This theorem is referenced by:  iscfil3  22185  cfilfcls  22186  relcmpcmet  22228
 Copyright terms: Public domain W3C validator