Theorem cffnon 6055

Description: Cofinality is a function on the class of ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
cffnon	|- cf Fn On

Proof of Theorem cffnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . 4 |- v e. _V
2		cflem 6053	. . . 4 |- (v e. _V -> E.xE.y(x = (card` y) /\ (y C_ v /\ A.z e. v E.w e. y z C_ w)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- E.xE.y(x = (card` y) /\ (y C_ v /\ A.z e. v E.w e. y z C_ w))
4		intexab 3467	. . 3 |- (E.xE.y(x = (card` y) /\ (y C_ v /\ A.z e. v E.w e. y z C_ w)) <-> |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ v /\ A.z e. v E.w e. y z C_ w))} e. _V)
5	3, 4	mpbi 206	. 2 |- |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ v /\ A.z e. v E.w e. y z C_ w))} e. _V
6		df-cf 5864	. 2 |- cf = {<.v, u>. | (v e. On /\ u = |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y C_ v /\ A.z e. v E.w e. y z C_ w))})}
7	5, 6	fnopab2 4549	1 |- cf Fn On

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  |^|cint 3214  Oncon0 3657   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  cardccrd 5859  cfccf 5861

This theorem is referenced by:  cfub 6056  cardcf 6059  cflecard 6060  cfle 6061

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-cf 5864

Copyright terms: Public domain