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Theorem cff1 8094
Description: There is always a map from  ( cf `  A
) to  A (this is a stronger condition than the definition, which only presupposes a map from some  y  ~~  ( cf `  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cff1  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
Distinct variable group:    A, f, w, z

Proof of Theorem cff1
Dummy variables  s 
y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8083 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
2 cardon 7787 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  y )  e.  On
3 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
42, 3mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
54adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  x  e.  On )
65exlimiv 1641 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  x  e.  On )
76abssi 3378 . . . . 5  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } 
C_  On
8 cflem 8082 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
9 abn0 3606 . . . . . 6  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
108, 9sylibr 204 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  =/=  (/) )
11 onint 4734 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } 
C_  On  /\  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
127, 10, 11sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
131, 12eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
14 fvex 5701 . . . 4  |-  ( cf `  A )  e.  _V
15 eqeq1 2410 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) ) )
1615anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  <->  ( ( cf `  A )  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) ) )
1716exbidv 1633 . . . 4  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  <->  E. y
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) ) )
1814, 17elab 3042 . . 3  |-  ( ( cf `  A )  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  <->  E. y ( ( cf `  A )  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
) )
1913, 18sylib 189 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. y
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
20 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( cf `  A )  =  (
card `  y )
)
21 onss 4730 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
22 sstr 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
2321, 22sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
2423ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  On )
2524ad2ant2r 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  y  C_  On )
26 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
27 onssnum 7877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
2826, 27mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
29 cardid2 7796 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  card  ->  (
card `  y )  ~~  y )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  On  ->  ( card `  y )  ~~  y
)
3130adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  ( card `  y )  ~~  y )
32 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cf `  A )  =  ( card `  y
)  ->  ( ( cf `  A )  ~~  y 
<->  ( card `  y
)  ~~  y )
)
3332adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  (
( cf `  A
)  ~~  y  <->  ( card `  y )  ~~  y
) )
3431, 33mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  ( cf `  A )  ~~  y )
35 bren 7076 . . . . . . 7  |-  ( ( cf `  A ) 
~~  y  <->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
3634, 35sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
3720, 25, 36syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
38 f1of1 5632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  f : ( cf `  A )
-1-1-> y )
39 f1ss 5603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -1-1-> y  /\  y  C_  A )  -> 
f : ( cf `  A ) -1-1-> A )
4039ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  A  /\  f : ( cf `  A
) -1-1-> y )  -> 
f : ( cf `  A ) -1-1-> A )
4138, 40sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  A  /\  f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
4241adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
43423adant1 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
44 f1ofo 5640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  f : ( cf `  A )
-onto-> y )
45 foelrn 5847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -onto-> y  /\  s  e.  y )  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) s  =  ( f `
 w ) )
46 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  w )  ->  (
z  C_  s  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
4746biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  s  ->  (
s  =  ( f `
 w )  -> 
z  C_  ( f `  w ) ) )
4847reximdv 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  s  ->  ( E. w  e.  ( cf `  A ) s  =  ( f `  w )  ->  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
4945, 48syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -onto-> y  /\  s  e.  y )  ->  ( z  C_  s  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w ) ) )
5049rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( cf `  A
) -onto-> y  ->  ( E. s  e.  y 
z  C_  s  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
5150ralimdv 2745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( cf `  A
) -onto-> y  ->  ( A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
5244, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  ( A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) )
5352impcom 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s  /\  f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
5453adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
55543adant1 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
5643, 55jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  (
f : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
57563expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
5857eximdv 1629 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( E. f  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y  ->  E. f ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
5937, 58mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
6059expl 602 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  E. f ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
6160exlimdv 1643 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( ( cf `  A )  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
6219, 61mpd 15 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   |^|cint 4010   class class class wbr 4172   Oncon0 4541   dom cdm 4837   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413    ~~ cen 7065   cardccrd 7778   cfccf 7780
This theorem is referenced by:  cfsmolem  8106  cfcoflem  8108  cfcof  8110  alephreg  8413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6508  df-recs 6592  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-card 7782  df-cf 7784
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