MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfeq0 Unicode version

Theorem cfeq0 8092
Description: Only the ordinal zero has cofinality zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfeq0  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem cfeq0
Dummy variables  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8083 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
21eqeq1d 2412 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/) ) )
3 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  v  e. 
_V
4 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  ( card `  y )  <->  v  =  ( card `  y )
) )
54anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  <->  ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
65exbidv 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( v  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
73, 6elab 3042 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
8 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  ( card `  y ) ) )
9 cardidm 7802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( card `  ( card `  y
) )  =  (
card `  y )
108, 9syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  (
card `  y )
)
11 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( ( card `  v )  =  v  <->  ( card `  v
)  =  ( card `  y ) ) )
1210, 11mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( card `  y
)  ->  ( card `  v )  =  v )
1312adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
1413exlimiv 1641 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( v  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( card `  v )  =  v )
157, 14sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  ( card `  v
)  =  v )
16 cardon 7787 . . . . . . 7  |-  ( card `  v )  e.  On
1715, 16syl6eqelr 2493 . . . . . 6  |-  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  v  e.  On )
1817ssriv 3312 . . . . 5  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On
19 onint0 4735 . . . . 5  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  C_  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  <->  (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . 4  |-  ( |^| { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  =  (/)  <->  (/)  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) } )
21 0ex 4299 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  (/)  =  ( card `  y ) ) )
2322anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
2423exbidv 1633 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
2521, 24elab 3042 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
26 onss 4730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
27 sstr 3316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
2827ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  On  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
2926, 28sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  On )
30293adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  On )
31303adant3r 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
32 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  (/)  =  ( card `  y
) )
33 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
34 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  ( card `  y
)  =  (/) )
35 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
36 onssnum 7877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
3735, 36mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
38 cardnueq0 7807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( card `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (
card `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4034, 39syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  y  =  (/) ) )
4140biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  y  =  (/) )
42 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43 rexeq 2865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w  e.  (/)  z  C_  w
) )
4443ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  <->  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4542, 44anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w )  <->  ( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) ) )
4645biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  (/)  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
4741, 46sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( (/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
48 rex0 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
4948rgenw 2733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
50 r19.2z 3677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5149, 50mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
52 rexnal 2677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  A  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w 
<->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )
5351, 52sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  (/)  ->  -.  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5453necon4ai 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w  ->  A  =  (/) )
5554adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  A  =  (/) )
5647, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
5731, 32, 33, 56syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) )
58573expib 1156 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  A  =  (/) ) )
5958exlimdv 1643 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  A  =  (/) ) )
6025, 59syl5bi 209 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  ->  A  =  (/) ) )
6120, 60syl5bi 209 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
622, 61sylbid 207 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
63 fveq2 5687 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  (/) ) )
64 cf0 8087 . . 3  |-  ( cf `  (/) )  =  (/)
6563, 64syl6eq 2452 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( cf `  A )  =  (/) )
6662, 65impbid1 195 1  |-  ( A  e.  On  ->  (
( cf `  A
)  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   |^|cint 4010   Oncon0 4541   dom cdm 4837   ` cfv 5413   cardccrd 7778   cfccf 7780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6508  df-recs 6592  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-card 7782  df-cf 7784
  Copyright terms: Public domain W3C validator