Theorem cfcof 8567

Description: If there is a cofinal map from A to B, then they have the same cofinality. This was used as Definition 11.1 of [TakeutiZaring] p. 100, who defines an equivalence relation cof ( A , B ) and defines our cf ( B ) as the minimum B such that cof ( A , B ). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfcof	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) ) )

Distinct variable groups:   w, f, z, A   B, f, w, z

Proof of Theorem cfcof

Dummy variables c g h k r s t x y v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfcoflem 8565	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) ) )
2	1	imp 427	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) )
3		cff1 8551	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
4		f1f 5689	. . . . . . . . 9 |- ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A -> g : ( cf ` A ) --> A )
5	4	anim1i 566	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
6	5	eximi 1664	. . . . . . 7 |- ( E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
7	3, 6	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. On -> E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
8		eqid 2382	. . . . . . 7 |- ( y e. ( cf ` A ) |-> |^| { v e. B | ( g ` y ) C_ ( f ` v ) } ) = ( y e. ( cf ` A ) |-> |^| { v e. B | ( g ` y ) C_ ( f ` v ) } )
9	8	coftr 8566	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) ) )
10	7, 9	syl5com 30	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) ) )
11		eloni 4802	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> Ord B )
12		cfon 8548	. . . . . . 7 |- ( cf ` A ) e. On
13		eqid 2382	. . . . . . . 8 |- { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } = { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) }
14		eqid 2382	. . . . . . . 8 |- |^| { c e. ( cf ` A ) | r C_ ( h ` c ) } = |^| { c e. ( cf ` A ) | r C_ ( h ` c ) }
15		eqid 2382	. . . . . . . 8 |- OrdIso ( _E , { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } ) = OrdIso ( _E , { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } )
16	13, 14, 15	cofsmo 8562	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ ( cf ` A ) e. On ) -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) )
17	11, 12, 16	sylancl 660	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) )
18		3simpb 992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) )
19	18	eximi 1664	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) )
20	12	onsuci 6572	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc ( cf ` A ) e. On
21	20	oneli 4899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. suc ( cf ` A ) -> c e. On )
22		cfflb 8552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ c e. On ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) )
23	21, 22	sylan2 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) )
24	19, 23	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) )
25	24	imp 427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ c )
26		onsssuc 4879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. On /\ ( cf ` A ) e. On ) -> ( c C_ ( cf ` A ) <-> c e. suc ( cf ` A ) ) )
27	21, 12, 26	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. suc ( cf ` A ) -> ( c C_ ( cf ` A ) <-> c e. suc ( cf ` A ) ) )
28	27	ibir 242	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. suc ( cf ` A ) -> c C_ ( cf ` A ) )
29	28	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> c C_ ( cf ` A ) )
30	25, 29	sstrd 3427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) )
31	30	exp31 602	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( c e. suc ( cf ` A ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) ) )
32	31	rexlimdv 2872	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) )
33	17, 32	syld 44	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) )
34	10, 33	sylan9 655	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) )
35	34	imp 427	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) )
36	2, 35	eqssd 3434	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) )
37	36	ex 432	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   E.wex 1620   e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736   C_ wss 3389   |^|cint 4199   |-> cmpt 4425   _E cep 4703   Ord word 4791   Oncon0 4792   suc csuc 4794   -->wf 5492   -1-1->wf1 5493   ` cfv 5496   Smo wsmo 6934  OrdIsocoi 7849   cfccf 8231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-smo 6935  df-recs 6960  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-oi 7850  df-card 8233  df-cf 8235  df-acn 8236

This theorem is referenced by:  alephsing  8569