Theorem cfcof 8730

Description: If there is a cofinal map from A to B, then they have the same cofinality. This was used as Definition 11.1 of [TakeutiZaring] p. 100, who defines an equivalence relation cof ( A , B ) and defines our cf ( B ) as the minimum B such that cof ( A , B ). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfcof	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) ) )

Distinct variable groups:   w, f, z, A   B, f, w, z

Proof of Theorem cfcof

Dummy variables c g h k r s t x y v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfcoflem 8728	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) ) )
2	1	imp 435	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` A ) C_ ( cf ` B ) )
3		cff1 8714	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
4		f1f 5802	. . . . . . . . 9 |- ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A -> g : ( cf ` A ) --> A )
5	4	anim1i 576	. . . . . . . 8 |- ( ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
6	5	eximi 1718	. . . . . . 7 |- ( E. g ( g : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. On -> E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) )
8		eqid 2462	. . . . . . 7 |- ( y e. ( cf ` A ) |-> |^| { v e. B | ( g ` y ) C_ ( f ` v ) } ) = ( y e. ( cf ` A ) |-> |^| { v e. B | ( g ` y ) C_ ( f ` v ) } )
9	8	coftr 8729	. . . . . 6 |- ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( E. g ( g : ( cf ` A ) --> A /\ A. s e. A E. t e. ( cf ` A ) s C_ ( g ` t ) ) -> E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) ) )
10	7, 9	syl5com 31	. . . . 5 |- ( A e. On -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) ) )
11		eloni 5452	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> Ord B )
12		cfon 8711	. . . . . . 7 |- ( cf ` A ) e. On
13		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } = { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) }
14		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- |^| { c e. ( cf ` A ) | r C_ ( h ` c ) } = |^| { c e. ( cf ` A ) | r C_ ( h ` c ) }
15		eqid 2462	. . . . . . . 8 |- OrdIso ( _E , { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } ) = OrdIso ( _E , { x e. ( cf ` A ) | A. t e. x ( h ` t ) e. ( h ` x ) } )
16	13, 14, 15	cofsmo 8725	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ ( cf ` A ) e. On ) -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) )
17	11, 12, 16	sylancl 673	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) )
18		3simpb 1012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) )
19	18	eximi 1718	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) )
20	12	onsuci 6692	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc ( cf ` A ) e. On
21	20	oneli 5549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. suc ( cf ` A ) -> c e. On )
22		cfflb 8715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ c e. On ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) )
23	21, 22	sylan2 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) )
24	19, 23	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ c ) )
25	24	imp 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ c )
26		onsssuc 5529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. On /\ ( cf ` A ) e. On ) -> ( c C_ ( cf ` A ) <-> c e. suc ( cf ` A ) ) )
27	21, 12, 26	sylancl 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. suc ( cf ` A ) -> ( c C_ ( cf ` A ) <-> c e. suc ( cf ` A ) ) )
28	27	ibir 250	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. suc ( cf ` A ) -> c C_ ( cf ` A ) )
29	28	ad2antlr 738	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> c C_ ( cf ` A ) )
30	25, 29	sstrd 3454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ c e. suc ( cf ` A ) ) /\ E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) )
31	30	exp31 613	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( c e. suc ( cf ` A ) -> ( E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) ) )
32	31	rexlimdv 2889	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ( E. c e. suc ( cf ` A ) E. k ( k : c --> B /\ Smo k /\ A. r e. B E. s e. c r C_ ( k ` s ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) )
33	17, 32	syld 45	. . . . 5 |- ( B e. On -> ( E. h ( h : ( cf ` A ) --> B /\ A. r e. B E. t e. ( cf ` A ) r C_ ( h ` t ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) )
34	10, 33	sylan9 667	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) ) )
35	34	imp 435	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` B ) C_ ( cf ` A ) )
36	2, 35	eqssd 3461	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) )
37	36	ex 440	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( E. f ( f : B --> A /\ Smo f /\ A. z e. A E. w e. B z C_ ( f ` w ) ) -> ( cf ` A ) = ( cf ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   C_ wss 3416   |^|cint 4248   |-> cmpt 4475   _E cep 4762   Ord word 5441   Oncon0 5442   suc csuc 5444   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601   Smo wsmo 7090  OrdIsocoi 8050   cfccf 8397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-smo 7091  df-recs 7116  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-oi 8051  df-card 8399  df-cf 8401  df-acn 8402

This theorem is referenced by:  alephsing  8732