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Theorem cfcof 8666
Description: If there is a cofinal map from  A to  B, then they have the same cofinality. This was used as Definition 11.1 of [TakeutiZaring] p. 100, who defines an equivalence relation cof  ( A ,  B ) and defines our  cf ( B ) as the minimum  B such that cof  ( A ,  B
). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfcof  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  B
) ) )
Distinct variable groups:    w, f,
z, A    B, f, w, z

Proof of Theorem cfcof
Dummy variables  c 
g  h  k  r  s  t  x  y  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfcoflem 8664 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
21imp 429 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) ) )  -> 
( cf `  A
)  C_  ( cf `  B ) )
3 cff1 8650 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  E. g
( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A
) s  C_  (
g `  t )
) )
4 f1f 5787 . . . . . . . . 9  |-  ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  ->  g : ( cf `  A
) --> A )
54anim1i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A ) s  C_  ( g `  t
) )  ->  (
g : ( cf `  A ) --> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A ) s  C_  ( g `  t
) ) )
65eximi 1635 . . . . . . 7  |-  ( E. g ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A
) s  C_  (
g `  t )
)  ->  E. g
( g : ( cf `  A ) --> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A
) s  C_  (
g `  t )
) )
73, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  E. g
( g : ( cf `  A ) --> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A
) s  C_  (
g `  t )
) )
8 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( cf `  A
)  |->  |^| { v  e.  B  |  ( g `
 y )  C_  ( f `  v
) } )  =  ( y  e.  ( cf `  A ) 
|->  |^| { v  e.  B  |  ( g `
 y )  C_  ( f `  v
) } )
98coftr 8665 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
)  ->  ( E. g ( g : ( cf `  A
) --> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A ) s  C_  ( g `  t
) )  ->  E. h
( h : ( cf `  A ) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A
) r  C_  (
h `  t )
) ) )
107, 9syl5com 30 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  A ) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A
) r  C_  (
h `  t )
) ) )
11 eloni 4894 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
12 cfon 8647 . . . . . . 7  |-  ( cf `  A )  e.  On
13 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( cf `  A
)  |  A. t  e.  x  ( h `  t )  e.  ( h `  x ) }  =  { x  e.  ( cf `  A
)  |  A. t  e.  x  ( h `  t )  e.  ( h `  x ) }
14 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  |^| { c  e.  ( cf `  A
)  |  r  C_  ( h `  c
) }  =  |^| { c  e.  ( cf `  A )  |  r 
C_  ( h `  c ) }
15 eqid 2467 . . . . . . . 8  |- OrdIso (  _E  ,  { x  e.  ( cf `  A
)  |  A. t  e.  x  ( h `  t )  e.  ( h `  x ) } )  = OrdIso (  _E  ,  { x  e.  ( cf `  A
)  |  A. t  e.  x  ( h `  t )  e.  ( h `  x ) } )
1613, 14, 15cofsmo 8661 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  ( cf `  A )  e.  On )  ->  ( E. h ( h : ( cf `  A
) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A ) r  C_  ( h `  t
) )  ->  E. c  e.  suc  ( cf `  A
) E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) ) )
1711, 12, 16sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. h ( h : ( cf `  A
) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A ) r  C_  ( h `  t
) )  ->  E. c  e.  suc  ( cf `  A
) E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) ) )
18 3simpb 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) )  ->  (
k : c --> B  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  (
k `  s )
) )
1918eximi 1635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  (
k `  s )
)  ->  E. k
( k : c --> B  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) )
2012onsuci 6668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  ( cf `  A )  e.  On
2120oneli 4991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  suc  ( cf `  A )  ->  c  e.  On )
22 cfflb 8651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  c  e.  On )  ->  ( E. k ( k : c --> B  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  (
k `  s )
)  ->  ( cf `  B )  C_  c
) )
2321, 22sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  -> 
( E. k ( k : c --> B  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  (
k `  s )
)  ->  ( cf `  B )  C_  c
) )
2419, 23syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  -> 
( E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) )  ->  ( cf `  B )  C_  c ) )
2524imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  /\  E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) )  -> 
( cf `  B
)  C_  c )
26 onsssuc 4971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  On  /\  ( cf `  A )  e.  On )  -> 
( c  C_  ( cf `  A )  <->  c  e.  suc  ( cf `  A
) ) )
2721, 12, 26sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  suc  ( cf `  A )  ->  (
c  C_  ( cf `  A )  <->  c  e.  suc  ( cf `  A
) ) )
2827ibir 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  suc  ( cf `  A )  ->  c  C_  ( cf `  A
) )
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  /\  E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) )  -> 
c  C_  ( cf `  A ) )
3025, 29sstrd 3519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  /\  E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) )  -> 
( cf `  B
)  C_  ( cf `  A ) )
3130exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  (
c  e.  suc  ( cf `  A )  -> 
( E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) )  ->  ( cf `  B )  C_  ( cf `  A ) ) ) )
3231rexlimdv 2957 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. c  e.  suc  ( cf `  A ) E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) )  ->  ( cf `  B )  C_  ( cf `  A ) ) )
3317, 32syld 44 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. h ( h : ( cf `  A
) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A ) r  C_  ( h `  t
) )  ->  ( cf `  B )  C_  ( cf `  A ) ) )
3410, 33sylan9 657 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( cf `  B )  C_  ( cf `  A ) ) )
3534imp 429 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) ) )  -> 
( cf `  B
)  C_  ( cf `  A ) )
362, 35eqssd 3526 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) ) )  -> 
( cf `  A
)  =  ( cf `  B ) )
3736ex 434 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    C_ wss 3481   |^|cint 4288    |-> cmpt 4511    _E cep 4795   Ord word 4883   Oncon0 4884   suc csuc 4886   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594   Smo wsmo 7028  OrdIsocoi 7946   cfccf 8330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-smo 7029  df-recs 7054  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-oi 7947  df-card 8332  df-cf 8334  df-acn 8335
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