MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ceilm1lt Structured version   Unicode version

Theorem ceilm1lt 12076
Description: One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ceilm1lt  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( `  A )  - 
1 )  <  A
)

Proof of Theorem ceilm1lt
StepHypRef Expression
1 ceilval 12068 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( `  A )  =  -u ( |_ `  -u A
) )
21oveq1d 6318 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( `  A )  - 
1 )  =  (
-u ( |_ `  -u A )  -  1 ) )
3 ceim1l 12075 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u A
)  -  1 )  <  A )
42, 3eqbrtrd 4442 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( `  A )  - 
1 )  <  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1869   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   1c1 9542    < clt 9677    - cmin 9862   -ucneg 9863   |_cfl 12027  ⌈cceil 12028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fl 12029  df-ceil 12030
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator