MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ceilid Structured version   Unicode version

Theorem ceilid 12085
Description: An integer is its own ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
ceilid  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( `  A )  =  A )

Proof of Theorem ceilid
StepHypRef Expression
1 zre 10949 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2 ceilval 12074 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( `  A )  =  -u ( |_ `  -u A
) )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( `  A )  =  -u ( |_ `  -u A
) )
4 znegcl 10980 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  e.  ZZ )
5 flid 12051 . . . 4  |-  ( -u A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  -u A
)  =  -u A
)
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  -u A )  = 
-u A )
76negeqd 9877 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u ( |_ `  -u A )  = 
-u -u A )
8 zcn 10950 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
98negnegd 9985 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u -u A  =  A )
103, 7, 93eqtrd 2467 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   ` cfv 5601   RRcr 9546   -ucneg 9869   ZZcz 10945   |_cfl 12033  ⌈cceil 12034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-sup 7966  df-inf 7967  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-fl 12035  df-ceil 12036
This theorem is referenced by:  ceilidz  12086  fleqceilz  12088
  Copyright terms: Public domain W3C validator