Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn8 Structured version   Unicode version

Theorem cdlemn8 36019
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemn8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemn8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemn8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemn8.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
cdlemn8.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
cdlemn8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemn8.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
cdlemn8.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
cdlemn8.s  |-  .+  =  ( +g  `  U )
cdlemn8.f  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  Q )
cdlemn8.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  R )
Assertion
Ref Expression
cdlemn8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  g  =  ( G  o.  `' F ) )
Distinct variable groups:    .<_ , h    A, h    B, h    h, H   
h, K    T, h    P, h    Q, h    h, W    R, h
Allowed substitution hints:    A( g, s)    B( g, s)    P( g, s)    .+ ( g, h, s)    Q( g, s)    R( g, s)    T( g, s)    U( g, h, s)    E( g, h, s)    F( g, h, s)    G( g, h, s)    H( g, s)    K( g, s)    .<_ ( g, s)    O( g, h, s)    W( g, s)

Proof of Theorem cdlemn8
StepHypRef Expression
1 coass 5526 . . 3  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  g )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  g
) )
2 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 cdlemn8.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 cdlemn8.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 cdlemn8.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdlemn8.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
73, 4, 5, 6lhpocnel2 34833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
873ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
9 simp2l 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
10 cdlemn8.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 cdlemn8.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  Q )
123, 4, 5, 10, 11ltrniotacl 35393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
132, 8, 9, 12syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  F  e.  T )
14 cdlemn8.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
1514, 5, 10ltrn1o 34938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
162, 13, 15syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
17 f1ococnv1 5844 . . . . . 6  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( `' F  o.  F
)  =  (  _I  |`  B ) )
1918coeq1d 5164 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  (
( `' F  o.  F )  o.  g
)  =  ( (  _I  |`  B )  o.  g ) )
20 simp32 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  g  e.  T )
2114, 5, 10ltrn1o 34938 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T
)  ->  g : B
-1-1-onto-> B )
222, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  g : B -1-1-onto-> B )
23 f1of 5816 . . . . 5  |-  ( g : B -1-1-onto-> B  ->  g : B
--> B )
24 fcoi2 5760 . . . . 5  |-  ( g : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  g )  =  g )
2522, 23, 243syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  g )  =  g )
2619, 25eqtr2d 2509 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  g  =  ( ( `' F  o.  F )  o.  g ) )
27 cdlemn8.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
28 cdlemn8.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
29 cdlemn8.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
30 cdlemn8.s . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
31 cdlemn8.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T  ( h `  P
)  =  R )
3214, 3, 4, 5, 6, 27, 10, 28, 29, 30, 11, 31cdlemn7 36018 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( G  =  ( (
s `  F )  o.  g )  /\  (  _I  |`  T )  =  s ) )
3332simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  G  =  ( ( s `
 F )  o.  g ) )
3432simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  (  _I  |`  T )  =  s )
3534fveq1d 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) `
 F )  =  ( s `  F
) )
36 tendospid 35832 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  T  ->  (
(  _I  |`  T ) `
 F )  =  F )
3713, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  (
(  _I  |`  T ) `
 F )  =  F )
3835, 37eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  (
s `  F )  =  F )
3938coeq1d 5164 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  (
( s `  F
)  o.  g )  =  ( F  o.  g ) )
4033, 39eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  G  =  ( F  o.  g ) )
4140coeq2d 5165 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( `' F  o.  G
)  =  ( `' F  o.  ( F  o.  g ) ) )
421, 26, 413eqtr4a 2534 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  g  =  ( `' F  o.  G ) )
435, 10ltrncnv 34960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
442, 13, 43syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  `' F  e.  T )
45 simp2r 1023 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
463, 4, 5, 10, 31ltrniotacl 35393 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
472, 8, 45, 46syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  G  e.  T )
485, 10ltrncom 35552 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  ( `' F  o.  G
)  =  ( G  o.  `' F ) )
492, 44, 47, 48syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( `' F  o.  G
)  =  ( G  o.  `' F ) )
5042, 49eqtrd 2508 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  g  =  ( G  o.  `' F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   `'ccnv 4998    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   lecple 14562   occoc 14563   Atomscatm 34078   HLchlt 34165   LHypclh 34798   LTrncltrn 34915   TEndoctendo 35566   DVecHcdvh 35893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-dvech 35894
This theorem is referenced by:  cdlemn9  36020
  Copyright terms: Public domain W3C validator