Theorem cdlemn7 37327

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn8.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemn8.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemn8.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemn8.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemn8.p	|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
cdlemn8.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
cdlemn8.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemn8.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
cdlemn8.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
cdlemn8.s	|- .+ = ( +g ` U )
cdlemn8.f	|- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
cdlemn8.g	|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )

Assertion

Ref	Expression
cdlemn7	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )

Distinct variable groups:   .<_ , h   A, h   B, h   h, H   h, K   T, h   P, h   Q, h   h, W

Allowed substitution hints:   A( g, s)   B( g, s)   P( g, s)   .+ ( g, h, s)   Q( g, s)   R( g, h, s)   T( g, s)   U( g, h, s)   E( g, h, s)   F( g, h, s)   G( g, h, s)   H( g, s)   K( g, s)   .<_ ( g, s)   O( g, h, s)   W( g, s)

Proof of Theorem cdlemn7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp33 1032	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) )
2		simp1 994	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
3		simp2l 1020	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
4		simp2r 1021	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
5		simp31 1030	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> s e. E )
6		simp32 1031	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g e. T )
7		cdlemn8.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
8		cdlemn8.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
9		cdlemn8.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
10		cdlemn8.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
11		cdlemn8.p	. . . . 5 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
12		cdlemn8.o	. . . . 5 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
13		cdlemn8.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
14		cdlemn8.e	. . . . 5 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
15		cdlemn8.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
16		cdlemn8.s	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` U )
17		cdlemn8.f	. . . . 5 |- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	cdlemn6 37326	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
19	2, 3, 4, 5, 6, 18	syl122anc 1235	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
20	1, 19	eqtrd 2495	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> <. G , ( _I |` T ) >. = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
21		fvex 5858	. . . 4 |- ( s ` F ) e. _V
22		vex 3109	. . . 4 |- g e. _V
23	21, 22	coex 6725	. . 3 |- ( ( s ` F ) o. g ) e. _V
24		vex 3109	. . 3 |- s e. _V
25	23, 24	opth2 4715	. 2 |- ( <. G , ( _I |` T ) >. = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. <-> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )
26	20, 25	sylib 196	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   <.cop 4022   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   _I cid 4779   |` cres 4990   o. ccom 4992   ` cfv 5570   iota_crio 6231  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   lecple 14791   occoc 14792   Atomscatm 35385   HLchlt 35472   LHypclh 36105   LTrncltrn 36222   TEndoctendo 36875   DVecHcdvh 37202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-dvech 37203

This theorem is referenced by:  cdlemn8  37328