Theorem cdlemn7 35167

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn8.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemn8.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemn8.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemn8.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemn8.p	|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
cdlemn8.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
cdlemn8.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemn8.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
cdlemn8.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
cdlemn8.s	|- .+ = ( +g ` U )
cdlemn8.f	|- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
cdlemn8.g	|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )

Assertion

Ref	Expression
cdlemn7	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )

Distinct variable groups:   .<_ , h   A, h   B, h   h, H   h, K   T, h   P, h   Q, h   h, W

Allowed substitution hints:   A( g, s)   B( g, s)   P( g, s)   .+ ( g, h, s)   Q( g, s)   R( g, h, s)   T( g, s)   U( g, h, s)   E( g, h, s)   F( g, h, s)   G( g, h, s)   H( g, s)   K( g, s)   .<_ ( g, s)   O( g, h, s)   W( g, s)

Proof of Theorem cdlemn7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp33 1026	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) )
2		simp1 988	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
3		simp2l 1014	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
4		simp2r 1015	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
5		simp31 1024	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> s e. E )
6		simp32 1025	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g e. T )
7		cdlemn8.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
8		cdlemn8.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
9		cdlemn8.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
10		cdlemn8.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
11		cdlemn8.p	. . . . 5 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
12		cdlemn8.o	. . . . 5 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
13		cdlemn8.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
14		cdlemn8.e	. . . . 5 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
15		cdlemn8.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
16		cdlemn8.s	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` U )
17		cdlemn8.f	. . . . 5 |- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	cdlemn6 35166	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
19	2, 3, 4, 5, 6, 18	syl122anc 1228	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
20	1, 19	eqtrd 2493	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> <. G , ( _I |` T ) >. = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
21		fvex 5804	. . . 4 |- ( s ` F ) e. _V
22		vex 3075	. . . 4 |- g e. _V
23	21, 22	coex 6634	. . 3 |- ( ( s ` F ) o. g ) e. _V
24		vex 3075	. . 3 |- s e. _V
25	23, 24	opth2 4673	. 2 |- ( <. G , ( _I |` T ) >. = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. <-> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )
26	20, 25	sylib 196	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   <.cop 3986   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   _I cid 4734   |` cres 4945   o. ccom 4947   ` cfv 5521   iota_crio 6155  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   lecple 14359   occoc 14360   Atomscatm 33227   HLchlt 33314   LHypclh 33947   LTrncltrn 34064   TEndoctendo 34715   DVecHcdvh 35042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-riotaBAD 32923

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-undef 6897  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-poset 15230  df-plt 15242  df-lub 15258  df-glb 15259  df-join 15260  df-meet 15261  df-p0 15323  df-p1 15324  df-lat 15330  df-clat 15392  df-oposet 33140  df-ol 33142  df-oml 33143  df-covers 33230  df-ats 33231  df-atl 33262  df-cvlat 33286  df-hlat 33315  df-llines 33461  df-lplanes 33462  df-lvols 33463  df-lines 33464  df-psubsp 33466  df-pmap 33467  df-padd 33759  df-lhyp 33951  df-laut 33952  df-ldil 34067  df-ltrn 34068  df-trl 34122  df-tendo 34718  df-edring 34720  df-dvech 35043

This theorem is referenced by:  cdlemn8  35168