Theorem cdlemn7 31686

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn8.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemn8.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemn8.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemn8.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemn8.p	|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
cdlemn8.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
cdlemn8.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemn8.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
cdlemn8.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
cdlemn8.s	|- .+ = ( +g ` U )
cdlemn8.f	|- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
cdlemn8.g	|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )

Assertion

Ref	Expression
cdlemn7	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )

Distinct variable groups:   .<_ , h   A, h   B, h   h, H   h, K   T, h   P, h   Q, h   h, W

Allowed substitution hints:   A( g, s)   B( g, s)   P( g, s)   .+ ( g, h, s)   Q( g, s)   R( g, h, s)   T( g, s)   U( g, h, s)   E( g, h, s)   F( g, h, s)   G( g, h, s)   H( g, s)   K( g, s)   .<_ ( g, s)   O( g, h, s)   W( g, s)

Proof of Theorem cdlemn7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp33 995	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) )
2		simp1 957	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
3		simp2l 983	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
4		simp2r 984	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
5		simp31 993	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> s e. E )
6		simp32 994	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> g e. T )
7		cdlemn8.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
8		cdlemn8.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
9		cdlemn8.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
10		cdlemn8.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
11		cdlemn8.p	. . . . 5 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
12		cdlemn8.o	. . . . 5 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
13		cdlemn8.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
14		cdlemn8.e	. . . . 5 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
15		cdlemn8.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
16		cdlemn8.s	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` U )
17		cdlemn8.f	. . . . 5 |- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	cdlemn6 31685	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
19	2, 3, 4, 5, 6, 18	syl122anc 1193	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
20	1, 19	eqtrd 2436	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> <. G , ( _I |` T ) >. = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
21		fvex 5701	. . . 4 |- ( s ` F ) e. _V
22		vex 2919	. . . 4 |- g e. _V
23	21, 22	coex 5372	. . 3 |- ( ( s ` F ) o. g ) e. _V
24		vex 2919	. . 3 |- s e. _V
25	23, 24	opth2 4398	. 2 |- ( <. G , ( _I |` T ) >. = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. <-> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )
26	20, 25	sylib 189	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T /\ <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) ) ) -> ( G = ( ( s ` F ) o. g ) /\ ( _I |` T ) = s ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   <.cop 3777   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   _I cid 4453   |` cres 4839   o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   lecple 13491   occoc 13492   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   TEndoctendo 31234   DVecHcdvh 31561

This theorem is referenced by:  cdlemn8  31687

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dvech 31562