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Theorem cdlemm10N 36946
Description: The image of the map  G is the entire one-dimensional subspace  ( I `  V ). Remark after Lemma M of [Crawley] p. 121 line 23. (Contributed by NM, 24-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemm10.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemm10.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemm10.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemm10.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemm10.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemm10.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemm10.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
cdlemm10.c  |-  C  =  { r  e.  A  |  ( r  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  r  .<_  W ) }
cdlemm10.f  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  s )
cdlemm10.g  |-  G  =  ( q  e.  C  |->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  q ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemm10N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ran  G  =  ( I `  V
) )
Distinct variable groups:    f, r,
s,  .<_    .\/ , r    A, f,
r, s    s, q, C    G, s    f, H, s    f, K, s   
f, q, P, r, s    R, f, s    T, f, q, s    f, V, r, s    f, W, r, s
Allowed substitution hints:    A( q)    C( f, r)    R( r, q)    T( r)    F( f, s, r, q)    G( f, r, q)    H( r, q)    I( f, s, r, q)    .\/ ( f, s, q)    K( r, q)    .<_ ( q)    V( q)    W( q)

Proof of Theorem cdlemm10N
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotaex 6262 . . . . 5  |-  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 P )  =  q )  e.  _V
2 cdlemm10.g . . . . 5  |-  G  =  ( q  e.  C  |->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  q ) )
31, 2fnmpti 5715 . . . 4  |-  G  Fn  C
4 fvelrnb 5920 . . . 4  |-  ( G  Fn  C  ->  (
g  e.  ran  G  <->  E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( g  e.  ran  G  <->  E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g )
6 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  s  ->  (
( f `  P
)  =  q  <->  ( f `  P )  =  s ) )
76riotabidv 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  s  ->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  q )  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  s ) )
8 riotaex 6262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 P )  =  s )  e.  _V
97, 2, 8fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  C  ->  ( G `  s )  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  s ) )
10 cdlemm10.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  s )
119, 10syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  C  ->  ( G `  s )  =  F )
1211adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  ( G `  s )  =  F )
1312eqeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  (
( G `  s
)  =  g  <->  F  =  g ) )
1413rexbidva 2965 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <->  E. s  e.  C  F  =  g )
)
15 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
g  e.  T )
17 simpl2l 1049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  P  e.  A )
18 cdlemm10.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 cdlemm10.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
20 cdlemm10.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
21 cdlemm10.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
2218, 19, 20, 21ltrnat 35965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( g `  P )  e.  A
)
2315, 16, 17, 22syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  A )
24 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
25 simpl1l 1047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  K  e.  HL )
26 hllat 35189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  K  e.  Lat )
2824, 19atbase 35115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2917, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
3024, 20, 21ltrncl 35950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( g `  P )  e.  (
Base `  K )
)
3115, 16, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
32 cdlemm10.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .\/  =  ( join `  K )
3324, 32latjcl 15807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  (
g `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( g `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
3427, 29, 31, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  (
g `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
35 simpl3l 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  V  e.  A )
3624, 32, 19hlatjcl 35192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3725, 17, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3824, 18, 32latlej2 15817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  (
g `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
g `  P )  .<_  ( P  .\/  (
g `  P )
) )
3927, 29, 31, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  ( g `  P
) ) )
40 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
41 cdlemm10.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4218, 32, 19, 20, 21, 41trljat1 35992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  g
) )  =  ( P  .\/  ( g `
 P ) ) )
4315, 16, 40, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  =  ( P 
.\/  ( g `  P ) ) )
44 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( R `  g
)  .<_  V )
4524, 20, 21, 41trlcl 35990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T
)  ->  ( R `  g )  e.  (
Base `  K )
)
4615, 16, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( R `  g
)  e.  ( Base `  K ) )
4724, 19atbase 35115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
4835, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  V  e.  ( Base `  K ) )
4924, 18, 32latjlej2 15822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  g )  e.  (
Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `
 g )  .<_  V  ->  ( P  .\/  ( R `  g ) )  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5027, 46, 48, 29, 49syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( ( R `  g )  .<_  V  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5243, 51eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  (
g `  P )
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5324, 18, 27, 31, 34, 37, 39, 52lattrd 15814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5418, 19, 20, 21ltrnel 35964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
g `  P )  e.  A  /\  -.  (
g `  P )  .<_  W ) )
5554simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  (
g `  P )  .<_  W )
5615, 16, 40, 55syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  -.  ( g `  P
)  .<_  W )
5753, 56jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  ( g `  P
)  .<_  W ) )
58 breq1 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  V )  <->  ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
59 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
r  .<_  W  <->  ( g `  P )  .<_  W ) )
6059notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  ( -.  r  .<_  W  <->  -.  (
g `  P )  .<_  W ) )
6158, 60anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
( r  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  r  .<_  W )  <-> 
( ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  ( g `  P
)  .<_  W ) ) )
62 cdlemm10.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  { r  e.  A  |  ( r  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  r  .<_  W ) }
6361, 62elrab2 3259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  P )  e.  C  <->  ( (
g `  P )  e.  A  /\  (
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  (
g `  P )  .<_  W ) ) )
6423, 57, 63sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  C )
6518, 19, 20, 21cdlemeiota 36412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  g  e.  T )  ->  g  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
6615, 40, 16, 65syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
g  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 P )  =  ( g `  P
) ) )
6766eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  ( g `
 P ) )  =  g )
68 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  (
( f `  P
)  =  s  <->  ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
6968riotabidv 6260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  s )  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  ( g `
 P ) ) )
7010, 69syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
7170eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  ( F  =  g  <->  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 P )  =  ( g `  P
) )  =  g ) )
7271rspcev 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g `  P
)  e.  C  /\  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  ( g `
 P ) )  =  g )  ->  E. s  e.  C  F  =  g )
7364, 67, 72syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  E. s  e.  C  F  =  g )
7473ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V )  ->  E. s  e.  C  F  =  g ) )
75 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  V )  <->  s  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
76 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .<_  W  <->  s  .<_  W ) )
7776notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  s  ->  ( -.  r  .<_  W  <->  -.  s  .<_  W ) )
7875, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  s  ->  (
( r  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  r  .<_  W )  <-> 
( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )
7978, 62elrab2 3259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  C  <->  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )
80 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
81 simpl2l 1049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  A )
82 simpl2r 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  -.  P  .<_  W )
83 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  A )
84 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
8518, 19, 20, 21, 10ltrniotacl 36406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
8618, 19, 20, 21, 10ltrniotaval 36408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  s )
8785, 86jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )
8880, 81, 82, 83, 84, 87syl122anc 1237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )
89 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  F  e.  T
)
90 simp11 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91 simp12 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
92 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
9318, 32, 92, 19, 20, 21, 41trlval2 35989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
9490, 89, 91, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
95 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( F `  P )  =  s )
9695oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P ) )  =  ( P 
.\/  s ) )
9796oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W ) )
9894, 97eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W ) )
99 simpl1l 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
100 simpl3l 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
10118, 32, 19hlatlej1 35200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  V ) )
10299, 81, 100, 101syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  V
) )
103 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  V
) )
10499, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
10581, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
10624, 19atbase 35115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
107106ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
10899, 81, 100, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
10924, 18, 32latjle12 15818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  s  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( P  .\/  V )  /\  s  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( P  .\/  s
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
110104, 105, 107, 108, 109syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  s  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( P  .\/  s )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
111102, 103, 110mpbi2and 921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  s )  .<_  ( P  .\/  V ) )
11224, 32, 19hlatjcl 35192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  s  e.  A )  ->  ( P  .\/  s
)  e.  ( Base `  K ) )
11399, 81, 83, 112syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  s )  e.  ( Base `  K
) )
114 simpl1r 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H )
11524, 20lhpbase 35823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
11724, 18, 92latmlem1 15837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  s )  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  s )  .<_  ( P 
.\/  V )  -> 
( ( P  .\/  s ) ( meet `  K ) W ) 
.<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) ) )
118104, 113, 108, 116, 117syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
)  .<_  ( P  .\/  V )  ->  ( ( P  .\/  s ) (
meet `  K ) W )  .<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) ) )
119111, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W )  .<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) )
12018, 32, 92, 19, 20lhpat4N 35869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  V ) (
meet `  K ) W )  =  V )
121120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  V
) ( meet `  K
) W )  =  V )
122119, 121breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W )  .<_  V )
1231223adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( ( P 
.\/  s ) (
meet `  K ) W )  .<_  V )
12498, 123eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  .<_  V )
12589, 124jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `
 F )  .<_  V ) )
12688, 125mpd3an3 1325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V ) )
12779, 126sylan2b 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V ) )
128127ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( s  e.  C  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F )  .<_  V ) ) )
129 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  g  ->  ( F  e.  T  <->  g  e.  T ) )
130 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  g  ->  ( R `  F )  =  ( R `  g ) )
131130breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  g  ->  (
( R `  F
)  .<_  V  <->  ( R `  g )  .<_  V ) )
132129, 131anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  g  ->  (
( F  e.  T  /\  ( R `  F
)  .<_  V )  <->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V ) ) )
133132biimpcd 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V )  ->  ( F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) ) )
134128, 133syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( s  e.  C  ->  ( F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V ) ) ) )
135134rexlimdv 2947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `
 g )  .<_  V ) ) )
13674, 135impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V )  <->  E. s  e.  C  F  =  g ) )
13714, 136bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
( g  e.  T  /\  ( R `  g
)  .<_  V ) ) )
138 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( R `  f )  =  ( R `  g ) )
139138breq1d 4466 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  V  <->  ( R `  g )  .<_  V ) )
140139elrab 3257 . . . . 5  |-  ( g  e.  { f  e.  T  |  ( R `
 f )  .<_  V }  <->  ( g  e.  T  /\  ( R `
 g )  .<_  V ) )
141137, 140syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
g  e.  { f  e.  T  |  ( R `  f ) 
.<_  V } ) )
142 simp1l 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
143 simp1r 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  W  e.  H
)
144 simp3l 1024 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  e.  A
)
145144, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  e.  (
Base `  K )
)
146 simp3r 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  .<_  W )
147 cdlemm10.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
14824, 18, 20, 21, 41, 147diaval 36860 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( V  e.  ( Base `  K
)  /\  V  .<_  W ) )  ->  (
I `  V )  =  { f  e.  T  |  ( R `  f )  .<_  V }
)
149142, 143, 145, 146, 148syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( I `  V )  =  {
f  e.  T  | 
( R `  f
)  .<_  V } )
150149eleq2d 2527 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( g  e.  ( I `  V
)  <->  g  e.  {
f  e.  T  | 
( R `  f
)  .<_  V } ) )
151141, 150bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
g  e.  ( I `
 V ) ) )
1525, 151syl5bb 257 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( g  e. 
ran  G  <->  g  e.  ( I `  V ) ) )
153152eqrdv 2454 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ran  G  =  ( I `  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    Fn wfn 5589   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   lecple 14718   joincjn 15699   meetcmee 15700   Latclat 15801   Atomscatm 35089   HLchlt 35176   LHypclh 35809   LTrncltrn 35926   trLctrl 35984   DIsoAcdia 36856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-riotaBAD 34785
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-undef 7020  df-map 7440  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-llines 35323  df-lplanes 35324  df-lvols 35325  df-lines 35326  df-psubsp 35328  df-pmap 35329  df-padd 35621  df-lhyp 35813  df-laut 35814  df-ldil 35929  df-ltrn 35930  df-trl 35985  df-disoa 36857
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