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Theorem cdlemm10N 34485
Description: The image of the map  G is the entire one-dimensional subspace  ( I `  V ). Remark after Lemma M of [Crawley] p. 121 line 23. (Contributed by NM, 24-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemm10.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemm10.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemm10.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemm10.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemm10.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemm10.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemm10.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
cdlemm10.c  |-  C  =  { r  e.  A  |  ( r  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  r  .<_  W ) }
cdlemm10.f  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  s )
cdlemm10.g  |-  G  =  ( q  e.  C  |->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  q ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemm10N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ran  G  =  ( I `  V
) )
Distinct variable groups:    f, r,
s,  .<_    .\/ , r    A, f,
r, s    s, q, C    G, s    f, H, s    f, K, s   
f, q, P, r, s    R, f, s    T, f, q, s    f, V, r, s    f, W, r, s
Allowed substitution hints:    A( q)    C( f, r)    R( r, q)    T( r)    F( f, s, r, q)    G( f, r, q)    H( r, q)    I( f, s, r, q)    .\/ ( f, s, q)    K( r, q)    .<_ ( q)    V( q)    W( q)

Proof of Theorem cdlemm10N
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotaex 6053 . . . . 5  |-  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 P )  =  q )  e.  _V
2 cdlemm10.g . . . . 5  |-  G  =  ( q  e.  C  |->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  q ) )
31, 2fnmpti 5536 . . . 4  |-  G  Fn  C
4 fvelrnb 5736 . . . 4  |-  ( G  Fn  C  ->  (
g  e.  ran  G  <->  E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g ) )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( g  e.  ran  G  <->  E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g )
6 eqeq2 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  s  ->  (
( f `  P
)  =  q  <->  ( f `  P )  =  s ) )
76riotabidv 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  s  ->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  q )  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  s ) )
8 riotaex 6053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 P )  =  s )  e.  _V
97, 2, 8fvmpt 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  C  ->  ( G `  s )  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  s ) )
10 cdlemm10.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  s )
119, 10syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  C  ->  ( G `  s )  =  F )
1211adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  ( G `  s )  =  F )
1312eqeq1d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  (
( G `  s
)  =  g  <->  F  =  g ) )
1413rexbidva 2730 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <->  E. s  e.  C  F  =  g )
)
15 simpl1 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simprl 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
g  e.  T )
17 simpl2l 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  P  e.  A )
18 cdlemm10.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 cdlemm10.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
20 cdlemm10.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
21 cdlemm10.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
2218, 19, 20, 21ltrnat 33506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( g `  P )  e.  A
)
2315, 16, 17, 22syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  A )
24 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
25 simpl1l 1034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  K  e.  HL )
26 hllat 32730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  K  e.  Lat )
2824, 19atbase 32656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2917, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
3024, 20, 21ltrncl 33491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( g `  P )  e.  (
Base `  K )
)
3115, 16, 29, 30syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
32 cdlemm10.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .\/  =  ( join `  K )
3324, 32latjcl 15217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  (
g `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( g `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
3427, 29, 31, 33syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  (
g `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
35 simpl3l 1038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  V  e.  A )
3624, 32, 19hlatjcl 32733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3725, 17, 35, 36syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3824, 18, 32latlej2 15227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  (
g `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
g `  P )  .<_  ( P  .\/  (
g `  P )
) )
3927, 29, 31, 38syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  ( g `  P
) ) )
40 simpl2 987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
41 cdlemm10.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4218, 32, 19, 20, 21, 41trljat1 33532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  g
) )  =  ( P  .\/  ( g `
 P ) ) )
4315, 16, 40, 42syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  =  ( P 
.\/  ( g `  P ) ) )
44 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( R `  g
)  .<_  V )
4524, 20, 21, 41trlcl 33530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T
)  ->  ( R `  g )  e.  (
Base `  K )
)
4615, 16, 45syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( R `  g
)  e.  ( Base `  K ) )
4724, 19atbase 32656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
4835, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  V  e.  ( Base `  K ) )
4924, 18, 32latjlej2 15232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  g )  e.  (
Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `
 g )  .<_  V  ->  ( P  .\/  ( R `  g ) )  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5027, 46, 48, 29, 49syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( ( R `  g )  .<_  V  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5243, 51eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  (
g `  P )
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5324, 18, 27, 31, 34, 37, 39, 52lattrd 15224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5418, 19, 20, 21ltrnel 33505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
g `  P )  e.  A  /\  -.  (
g `  P )  .<_  W ) )
5554simprd 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  (
g `  P )  .<_  W )
5615, 16, 40, 55syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  -.  ( g `  P
)  .<_  W )
5753, 56jca 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  ( g `  P
)  .<_  W ) )
58 breq1 4292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  V )  <->  ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
59 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
r  .<_  W  <->  ( g `  P )  .<_  W ) )
6059notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  ( -.  r  .<_  W  <->  -.  (
g `  P )  .<_  W ) )
6158, 60anbi12d 705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
( r  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  r  .<_  W )  <-> 
( ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  ( g `  P
)  .<_  W ) ) )
62 cdlemm10.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  { r  e.  A  |  ( r  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  r  .<_  W ) }
6361, 62elrab2 3116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  P )  e.  C  <->  ( (
g `  P )  e.  A  /\  (
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  (
g `  P )  .<_  W ) ) )
6423, 57, 63sylanbrc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  C )
6518, 19, 20, 21cdlemeiota 33951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  g  e.  T )  ->  g  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
6615, 40, 16, 65syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
g  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 P )  =  ( g `  P
) ) )
6766eqcomd 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  ( g `
 P ) )  =  g )
68 eqeq2 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  (
( f `  P
)  =  s  <->  ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
6968riotabidv 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  s )  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  ( g `
 P ) ) )
7010, 69syl5eq 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
7170eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  ( F  =  g  <->  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 P )  =  ( g `  P
) )  =  g ) )
7271rspcev 3070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g `  P
)  e.  C  /\  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  ( g `
 P ) )  =  g )  ->  E. s  e.  C  F  =  g )
7364, 67, 72syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  E. s  e.  C  F  =  g )
7473ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V )  ->  E. s  e.  C  F  =  g ) )
75 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  V )  <->  s  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
76 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .<_  W  <->  s  .<_  W ) )
7776notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  s  ->  ( -.  r  .<_  W  <->  -.  s  .<_  W ) )
7875, 77anbi12d 705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  s  ->  (
( r  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  r  .<_  W )  <-> 
( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )
7978, 62elrab2 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  C  <->  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )
80 simpl1 986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
81 simpl2l 1036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  A )
82 simpl2r 1037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  -.  P  .<_  W )
83 simprl 750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  A )
84 simprrr 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
8518, 19, 20, 21, 10ltrniotacl 33945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
8618, 19, 20, 21, 10ltrniotaval 33947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  s )
8785, 86jca 529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )
8880, 81, 82, 83, 84, 87syl122anc 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )
89 simp3l 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  F  e.  T
)
90 simp11 1013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91 simp12 1014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
92 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
9318, 32, 92, 19, 20, 21, 41trlval2 33529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
9490, 89, 91, 93syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
95 simp3r 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( F `  P )  =  s )
9695oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P ) )  =  ( P 
.\/  s ) )
9796oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W ) )
9894, 97eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W ) )
99 simpl1l 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
100 simpl3l 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
10118, 32, 19hlatlej1 32741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  V ) )
10299, 81, 100, 101syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  V
) )
103 simprrl 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  V
) )
10499, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
10581, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
10624, 19atbase 32656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
107106ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
10899, 81, 100, 36syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
10924, 18, 32latjle12 15228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  s  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( P  .\/  V )  /\  s  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( P  .\/  s
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
110104, 105, 107, 108, 109syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  s  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( P  .\/  s )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
111102, 103, 110mpbi2and 907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  s )  .<_  ( P  .\/  V ) )
11224, 32, 19hlatjcl 32733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  s  e.  A )  ->  ( P  .\/  s
)  e.  ( Base `  K ) )
11399, 81, 83, 112syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  s )  e.  ( Base `  K
) )
114 simpl1r 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H )
11524, 20lhpbase 33364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
11724, 18, 92latmlem1 15247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  s )  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  s )  .<_  ( P 
.\/  V )  -> 
( ( P  .\/  s ) ( meet `  K ) W ) 
.<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) ) )
118104, 113, 108, 116, 117syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
)  .<_  ( P  .\/  V )  ->  ( ( P  .\/  s ) (
meet `  K ) W )  .<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) ) )
119111, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W )  .<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) )
12018, 32, 92, 19, 20lhpat4N 33410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  V ) (
meet `  K ) W )  =  V )
121120adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  V
) ( meet `  K
) W )  =  V )
122119, 121breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W )  .<_  V )
1231223adant3 1003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( ( P 
.\/  s ) (
meet `  K ) W )  .<_  V )
12498, 123eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  .<_  V )
12589, 124jca 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `
 F )  .<_  V ) )
12688, 125mpd3an3 1310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V ) )
12779, 126sylan2b 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V ) )
128127ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( s  e.  C  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F )  .<_  V ) ) )
129 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  g  ->  ( F  e.  T  <->  g  e.  T ) )
130 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  g  ->  ( R `  F )  =  ( R `  g ) )
131130breq1d 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  g  ->  (
( R `  F
)  .<_  V  <->  ( R `  g )  .<_  V ) )
132129, 131anbi12d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  g  ->  (
( F  e.  T  /\  ( R `  F
)  .<_  V )  <->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V ) ) )
133132biimpcd 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V )  ->  ( F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) ) )
134128, 133syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( s  e.  C  ->  ( F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V ) ) ) )
135134rexlimdv 2838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `
 g )  .<_  V ) ) )
13674, 135impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V )  <->  E. s  e.  C  F  =  g ) )
13714, 136bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
( g  e.  T  /\  ( R `  g
)  .<_  V ) ) )
138 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( R `  f )  =  ( R `  g ) )
139138breq1d 4299 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  V  <->  ( R `  g )  .<_  V ) )
140139elrab 3114 . . . . 5  |-  ( g  e.  { f  e.  T  |  ( R `
 f )  .<_  V }  <->  ( g  e.  T  /\  ( R `
 g )  .<_  V ) )
141137, 140syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
g  e.  { f  e.  T  |  ( R `  f ) 
.<_  V } ) )
142 simp1l 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
143 simp1r 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  W  e.  H
)
144 simp3l 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  e.  A
)
145144, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  e.  (
Base `  K )
)
146 simp3r 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  .<_  W )
147 cdlemm10.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
14824, 18, 20, 21, 41, 147diaval 34399 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( V  e.  ( Base `  K
)  /\  V  .<_  W ) )  ->  (
I `  V )  =  { f  e.  T  |  ( R `  f )  .<_  V }
)
149142, 143, 145, 146, 148syl22anc 1214 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( I `  V )  =  {
f  e.  T  | 
( R `  f
)  .<_  V } )
150149eleq2d 2508 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( g  e.  ( I `  V
)  <->  g  e.  {
f  e.  T  | 
( R `  f
)  .<_  V } ) )
151141, 150bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
g  e.  ( I `
 V ) ) )
1525, 151syl5bb 257 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( g  e. 
ran  G  <->  g  e.  ( I `  V ) ) )
153152eqrdv 2439 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ran  G  =  ( I `  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714   {crab 2717   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ran crn 4837    Fn wfn 5410   ` cfv 5415   iota_crio 6048  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   lecple 14241   joincjn 15110   meetcmee 15111   Latclat 15211   Atomscatm 32630   HLchlt 32717   LHypclh 33350   LTrncltrn 33467   trLctrl 33524   DIsoAcdia 34395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-riotaBAD 32326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-undef 6788  df-map 7212  df-poset 15112  df-plt 15124  df-lub 15140  df-glb 15141  df-join 15142  df-meet 15143  df-p0 15205  df-p1 15206  df-lat 15212  df-clat 15274  df-oposet 32543  df-ol 32545  df-oml 32546  df-covers 32633  df-ats 32634  df-atl 32665  df-cvlat 32689  df-hlat 32718  df-llines 32864  df-lplanes 32865  df-lvols 32866  df-lines 32867  df-psubsp 32869  df-pmap 32870  df-padd 33162  df-lhyp 33354  df-laut 33355  df-ldil 33470  df-ltrn 33471  df-trl 33525  df-disoa 34396
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