Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkid1 Structured version   Unicode version

Theorem cdlemkid1 34198
Description: Lemma for cdlemkid 34212. (Contributed by NM, 24-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemk5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk5.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk5.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk5.z  |-  Z  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemkid1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( Z  .\/  ( R `  b )
)  =  ( P 
.\/  ( R `  b ) ) )

Proof of Theorem cdlemkid1
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.z . . 3  |-  Z  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) )
21oveq1i 6315 . 2  |-  ( Z 
.\/  ( R `  b ) )  =  ( ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `
 b ) )
3 simp1l 1029 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp3rl 1078 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
b  e.  T )
6 simp3rr 1079 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
b  =/=  (  _I  |`  B ) )
7 cdlemk5.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 cdlemk5.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 cdlemk5.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 cdlemk5.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 cdlemk5.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
127, 8, 9, 10, 11trlnidat 33448 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  b )  e.  A
)
134, 5, 6, 12syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  b
)  e.  A )
14 simp3ll 1076 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  P  e.  A )
15 cdlemk5.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
167, 15, 8hlatjcl 32641 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  b )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( R `  b )
)  e.  B )
173, 14, 13, 16syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  b )
)  e.  B )
18 hllat 32638 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
193, 18syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
20 simp22 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  N  e.  T )
217, 8atbase 32564 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2214, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  P  e.  B )
237, 9, 10ltrncl 33399 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( N `  P )  e.  B
)
244, 20, 22, 23syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( N `  P
)  e.  B )
25 simp21 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  F  e.  T )
269, 10ltrncnv 33420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
274, 25, 26syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  ->  `' F  e.  T
)
289, 10ltrnco 33995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( b  o.  `' F )  e.  T
)
294, 5, 27, 28syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( b  o.  `' F )  e.  T
)
307, 9, 10, 11trlcl 33439 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( b  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( b  o.  `' F ) )  e.  B )
314, 29, 30syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  (
b  o.  `' F
) )  e.  B
)
327, 15latjcl 16248 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( N `  P )  e.  B  /\  ( R `  ( b  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  e.  B )
3319, 24, 31, 32syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  e.  B )
34 cdlemk5.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
3534, 15, 8hlatlej2 32650 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  b )  e.  A )  -> 
( R `  b
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  b ) ) )
363, 14, 13, 35syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  b
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  b ) ) )
37 cdlemk5.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
387, 34, 15, 37, 8atmod2i1 33135 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  b )  e.  A  /\  ( P  .\/  ( R `  b )
)  e.  B  /\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  e.  B )  /\  ( R `  b ) 
.<_  ( P  .\/  ( R `  b )
) )  ->  (
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) ) )
393, 13, 17, 33, 36, 38syl131anc 1277 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  .\/  ( R `  b )
) ) )
407, 8atbase 32564 . . . . . . . 8  |-  ( ( R `  b )  e.  A  ->  ( R `  b )  e.  B )
4113, 40syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  b
)  e.  B )
427, 9, 10, 11trlcl 33439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( R `  N )  e.  B
)
434, 20, 42syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  N
)  e.  B )
447, 15latj32 16294 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( R `  b
)  e.  B  /\  ( R `  N )  e.  B ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `
 N ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) )
4519, 22, 41, 43, 44syl13anc 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `
 N ) )  =  ( ( P 
.\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
46 simp3l 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4734, 15, 8, 9, 10, 11trljat3 33443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  N
) )  =  ( ( N `  P
)  .\/  ( R `  N ) ) )
484, 20, 46, 47syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  N )
)  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  N ) ) )
4948oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
507, 15latjass 16292 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( N `  P )  e.  B  /\  ( R `  N
)  e.  B  /\  ( R `  b )  e.  B ) )  ->  ( ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `  b ) )  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( ( R `
 N )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
5119, 24, 43, 41, 50syl13anc 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  N ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( ( N `
 P )  .\/  ( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
) ) )
5245, 49, 513eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `
 N ) )  =  ( ( N `
 P )  .\/  ( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
) ) )
537, 15latjass 16292 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( N `  P )  e.  B  /\  ( R `  (
b  o.  `' F
) )  e.  B  /\  ( R `  b
)  e.  B ) )  ->  ( (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) )  =  ( ( N `  P )  .\/  (
( R `  (
b  o.  `' F
) )  .\/  ( R `  b )
) ) )
5419, 24, 31, 41, 53syl13anc 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( ( R `
 ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
557, 15latjcom 16256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  N )  e.  B  /\  ( R `  b )  e.  B )  ->  (
( R `  N
)  .\/  ( R `  b ) )  =  ( ( R `  b )  .\/  ( R `  N )
) )
5619, 43, 41, 55syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( R `  b ) 
.\/  ( R `  N ) ) )
579, 10, 11trlcnv 33440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
584, 25, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
59 simp23 1040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 N ) )
6058, 59eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( R `  `' F )  =  ( R `  N ) )
6160oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  b )  .\/  ( R `  `' F
) )  =  ( ( R `  b
)  .\/  ( R `  N ) ) )
6256, 61eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( R `  b ) 
.\/  ( R `  `' F ) ) )
6315, 9, 10, 11trljco 34016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( ( R `  b )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) )  =  ( ( R `  b )  .\/  ( R `  `' F
) ) )
644, 5, 27, 63syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  b )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 b )  .\/  ( R `  `' F
) ) )
657, 15latjcom 16256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  b )  e.  B  /\  ( R `  ( b  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  (
( R `  b
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
6619, 41, 31, 65syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  b )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) )
6762, 64, 663eqtr2d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( R `  N )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( R `  ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `
 b ) ) )
6867oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( N `  P )  .\/  (
( R `  N
)  .\/  ( R `  b ) ) )  =  ( ( N `
 P )  .\/  ( ( R `  ( b  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
6954, 68eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( N `
 P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) )  .\/  ( R `  b )
)  =  ( ( N `  P ) 
.\/  ( ( R `
 N )  .\/  ( R `  b ) ) ) )
7052, 69eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `
 N ) )  =  ( ( ( N `  P ) 
.\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) )
7170oveq2d 6321 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  b )
)  ./\  ( (
( N `  P
)  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) 
.\/  ( R `  b ) ) ) )
727, 15, 37latabs2 16285 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( R `
 b ) )  e.  B  /\  ( R `  N )  e.  B )  ->  (
( P  .\/  ( R `  b )
)  ./\  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) ) )  =  ( P  .\/  ( R `
 b ) ) )
7319, 17, 43, 72syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  .\/  ( R `  N ) ) )  =  ( P  .\/  ( R `
 b ) ) )
7439, 71, 733eqtr2d 2476 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  ( b  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `
 b ) )  =  ( P  .\/  ( R `  b ) ) )
752, 74syl5eq 2482 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T  /\  ( R `
 F )  =  ( R `  N
) )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( b  e.  T  /\  b  =/=  (  _I  |`  B ) ) ) )  -> 
( Z  .\/  ( R `  b )
)  =  ( P 
.\/  ( R `  b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426    _I cid 4764   `'ccnv 4853    |` cres 4856    o. ccom 4858   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159   joincjn 16140   meetcmee 16141   Latclat 16242   Atomscatm 32538   HLchlt 32625   LHypclh 33258   LTrncltrn 33375   trLctrl 33433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-undef 7028  df-map 7482  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434
This theorem is referenced by:  cdlemkid2  34200
  Copyright terms: Public domain W3C validator