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Theorem cdlemkfid1N 35717
Description: Lemma for cdlemkfid3N 35721. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemk5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk5.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk5.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemkfid1N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( G `
 P ) )

Proof of Theorem cdlemkfid1N
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp23 1031 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  G  e.  T
)
3 simp3r 1025 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4 cdlemk5.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemk5.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemk5.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemk5.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemk5.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 cdlemk5.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
104, 5, 6, 7, 8, 9trljat3 34964 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  G ) ) )
111, 2, 3, 10syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  =  ( ( G `  P ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
12 simp1l 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
13 simp21 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  F  e.  T
)
14 simp3rl 1069 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  A
)
154, 6, 7, 8ltrnat 34936 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
161, 13, 14, 15syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
174, 6, 7, 8ltrnat 34936 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
181, 2, 14, 17syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
195, 6hlatjcom 34164 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  P )
) )
2012, 16, 18, 19syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  .\/  ( G `  P ) )  =  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  P ) ) )
214, 5, 6, 7, 8, 9trlcoabs2N 35518 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )
221, 13, 2, 3, 21syl121anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
237, 8, 9trlcocnv 35516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
241, 13, 2, 23syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
2524oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( G `
 P )  .\/  ( R `  ( F  o.  `' G ) ) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
264, 5, 6, 7, 8, 9trlcoabs2N 35518 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( F  o.  `' G
) ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  P )
) )
271, 2, 13, 3, 26syl121anc 1233 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( G `
 P )  .\/  ( R `  ( F  o.  `' G ) ) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  P ) ) )
2825, 27eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( G `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  P ) ) )
2920, 22, 283eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
3011, 29oveq12d 6300 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
31 cdlemk5.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3231, 7, 8, 9trlcl 34960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  B
)
331, 2, 32syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  B
)
34 simp1r 1021 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H
)
35 simp3l 1024 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  F )
)
366, 7, 8, 9trlcocnvat 35520 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  F
) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
3712, 34, 2, 13, 35, 36syl221anc 1239 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
384, 6, 7, 8ltrnel 34935 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
391, 2, 3, 38syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( G `
 P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
407, 8ltrncnv 34942 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
411, 13, 40syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  `' F  e.  T )
427, 8, 9trlcnv 34961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
431, 13, 42syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
4435, 43neeqtrrd 2767 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F
) )
45 simp22 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
4631, 7, 8ltrncnvnid 34923 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
471, 13, 45, 46syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
4831, 7, 8, 9trlcone 35524 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  (
( R `  G
)  =/=  ( R `
 `' F )  /\  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
491, 2, 41, 44, 47, 48syl122anc 1237 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
50 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
5150, 6, 7, 8, 9trlator0 34967 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  G )  e.  A  \/  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) ) )
521, 2, 51syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( R `
 G )  e.  A  \/  ( R `
 G )  =  ( 0. `  K
) ) )
534, 7, 8, 9trlle 34980 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  .<_  W )
5412, 34, 2, 53syl21anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  .<_  W )
557, 8ltrnco 35515 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
561, 2, 41, 55syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
574, 7, 8, 9trlle 34980 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
581, 56, 57syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
594, 5, 50, 6, 7lhp2at0nle 34831 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( G `  P
)  e.  A  /\  -.  ( G `  P
)  .<_  W )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  /\  ( ( ( R `  G )  e.  A  \/  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) )  /\  ( R `  G ) 
.<_  W )  /\  (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W ) )  ->  -.  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  G )
) )
601, 39, 49, 52, 54, 37, 58, 59syl322anc 1256 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  -.  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  G )
) )
61 cdlemk5.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
6231, 4, 5, 61, 62llnma1b 34582 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  G )  e.  B  /\  ( G `  P
)  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )  /\  -.  ( R `
 ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  G )
) )  ->  (
( ( G `  P )  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  =  ( G `  P ) )
6312, 33, 18, 37, 60, 62syl131anc 1241 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( ( G `  P ) 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( G `
 P ) )
6430, 63eqtrd 2508 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( G `
 P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447    _I cid 4790   `'ccnv 4998    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   joincjn 15427   meetcmee 15428   0.cp0 15520   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   trLctrl 34954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-map 7419  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955
This theorem is referenced by:  cdlemkfid2N  35719  cdlemkfid3N  35721
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