Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkfid1N Structured version   Unicode version

Theorem cdlemkfid1N 34873
Description: Lemma for cdlemkfid3N 34877. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemk5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk5.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk5.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemkfid1N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( G `
 P ) )

Proof of Theorem cdlemkfid1N
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp23 1023 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  G  e.  T
)
3 simp3r 1017 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4 cdlemk5.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemk5.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemk5.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemk5.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemk5.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 cdlemk5.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
104, 5, 6, 7, 8, 9trljat3 34120 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  G ) ) )
111, 2, 3, 10syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  =  ( ( G `  P ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
12 simp1l 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
13 simp21 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  F  e.  T
)
14 simp3rl 1061 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  A
)
154, 6, 7, 8ltrnat 34092 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
161, 13, 14, 15syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
174, 6, 7, 8ltrnat 34092 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
181, 2, 14, 17syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
195, 6hlatjcom 33320 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  P )
) )
2012, 16, 18, 19syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  .\/  ( G `  P ) )  =  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  P ) ) )
214, 5, 6, 7, 8, 9trlcoabs2N 34674 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )
221, 13, 2, 3, 21syl121anc 1224 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
237, 8, 9trlcocnv 34672 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
241, 13, 2, 23syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
2524oveq2d 6208 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( G `
 P )  .\/  ( R `  ( F  o.  `' G ) ) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
264, 5, 6, 7, 8, 9trlcoabs2N 34674 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( F  o.  `' G
) ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  P )
) )
271, 2, 13, 3, 26syl121anc 1224 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( G `
 P )  .\/  ( R `  ( F  o.  `' G ) ) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  P ) ) )
2825, 27eqtr3d 2494 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( G `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  P ) ) )
2920, 22, 283eqtr4d 2502 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
3011, 29oveq12d 6210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
31 cdlemk5.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3231, 7, 8, 9trlcl 34116 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  B
)
331, 2, 32syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  B
)
34 simp1r 1013 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H
)
35 simp3l 1016 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  F )
)
366, 7, 8, 9trlcocnvat 34676 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  F
) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
3712, 34, 2, 13, 35, 36syl221anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
384, 6, 7, 8ltrnel 34091 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
391, 2, 3, 38syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( G `
 P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
407, 8ltrncnv 34098 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
411, 13, 40syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  `' F  e.  T )
427, 8, 9trlcnv 34117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
431, 13, 42syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
4435, 43neeqtrrd 2748 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F
) )
45 simp22 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
4631, 7, 8ltrncnvnid 34079 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
471, 13, 45, 46syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
4831, 7, 8, 9trlcone 34680 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  (
( R `  G
)  =/=  ( R `
 `' F )  /\  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
491, 2, 41, 44, 47, 48syl122anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
50 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
5150, 6, 7, 8, 9trlator0 34123 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  G )  e.  A  \/  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) ) )
521, 2, 51syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( R `
 G )  e.  A  \/  ( R `
 G )  =  ( 0. `  K
) ) )
534, 7, 8, 9trlle 34136 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  .<_  W )
5412, 34, 2, 53syl21anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  G )  .<_  W )
557, 8ltrnco 34671 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
561, 2, 41, 55syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
574, 7, 8, 9trlle 34136 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
581, 56, 57syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
594, 5, 50, 6, 7lhp2at0nle 33987 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( G `  P
)  e.  A  /\  -.  ( G `  P
)  .<_  W )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  /\  ( ( ( R `  G )  e.  A  \/  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) )  /\  ( R `  G ) 
.<_  W )  /\  (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W ) )  ->  -.  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  G )
) )
601, 39, 49, 52, 54, 37, 58, 59syl322anc 1247 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  -.  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  G )
) )
61 cdlemk5.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
6231, 4, 5, 61, 62llnma1b 33738 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  G )  e.  B  /\  ( G `  P
)  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )  /\  -.  ( R `
 ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  G )
) )  ->  (
( ( G `  P )  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  =  ( G `  P ) )
6312, 33, 18, 37, 60, 62syl131anc 1232 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( ( G `  P ) 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( G `
 P ) )
6430, 63eqtrd 2492 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  e.  T
)  /\  ( ( R `  G )  =/=  ( R `  F
)  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( G `
 P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392    _I cid 4731   `'ccnv 4939    |` cres 4942    o. ccom 4944   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   lecple 14349   joincjn 15218   meetcmee 15219   0.cp0 15311   Atomscatm 33216   HLchlt 33303   LHypclh 33936   LTrncltrn 34053   trLctrl 34110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-undef 6894  df-map 7318  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111
This theorem is referenced by:  cdlemkfid2N  34875  cdlemkfid3N  34877
  Copyright terms: Public domain W3C validator