Theorem cdlemk9bN 34496

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: is this needed? If so, shorten with cdlemk9 34495 if that one is also needed. (Contributed by NM, 28-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemk.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk.m	|- ./\ = ( meet ` K )

Assertion

Ref	Expression
cdlemk9bN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( G o. `' X ) ) )

Proof of Theorem cdlemk9bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		cdlemk.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemk.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemk.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
5		cdlemk.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemk.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7		cdlemk.r	. . . 4 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
8		cdlemk.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cdlemk8 34494	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) )
10	9	oveq1d 6118	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) ./\ W ) )
11		simp1 988	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12	2, 4, 5, 6	ltrnel 33795	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
13	12	3adant2r 1213	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
14		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
15	2, 8, 14, 4, 5	lhpmat 33686	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
16	11, 13, 15	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
17	16	oveq1d 6118	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) ./\ W ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( 0. ` K ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) )
18		simp1l 1012	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
19		simp2l 1014	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
20		simp3l 1016	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
21	2, 4, 5, 6	ltrnat 33796	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
22	11, 19, 20, 21	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G ` P ) e. A )
23		simp2r 1015	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X e. T )
24	5, 6	ltrncnv 33802	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> `' G e. T )
25	11, 19, 24	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' G e. T )
26	5, 6	ltrnco 34375	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ `' G e. T ) -> ( X o. `' G ) e. T )
27	11, 23, 25, 26	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. `' G ) e. T )
28	1, 5, 6, 7	trlcl 33820	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' G ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' G ) ) e. B )
29	11, 27, 28	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' G ) ) e. B )
30		simp1r 1013	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
31	1, 5	lhpbase 33654	. . . . 5 |- ( W e. H -> W e. B )
32	30, 31	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. B )
33	2, 5, 6, 7	trlle 33840	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' G ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' G ) ) .<_ W )
34	11, 27, 33	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' G ) ) .<_ W )
35	1, 2, 3, 8, 4	atmod4i2 33523	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( ( G ` P ) e. A /\ ( R ` ( X o. `' G ) ) e. B /\ W e. B ) /\ ( R ` ( X o. `' G ) ) .<_ W ) -> ( ( ( G ` P ) ./\ W ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) ./\ W ) )
36	18, 22, 29, 32, 34, 35	syl131anc 1231	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) ./\ W ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) ./\ W ) )
37		hlol 33018	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. OL )
38	18, 37	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. OL )
39	1, 3, 14	olj02 32883	. . . . 5 |- ( ( K e. OL /\ ( R ` ( X o. `' G ) ) e. B ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
40	38, 29, 39	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
41	5, 6, 7	trlcocnv 34376	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ X e. T ) -> ( R ` ( G o. `' X ) ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
42	11, 19, 23, 41	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' X ) ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
43	40, 42	eqtr4d 2478	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( R ` ( G o. `' X ) ) )
44	17, 36, 43	3eqtr3d 2483	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) ./\ W ) = ( R ` ( G o. `' X ) ) )
45	10, 44	eqtrd 2475	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( G o. `' X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   class class class wbr 4304   `'ccnv 4851   o. ccom 4856   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   lecple 14257   joincjn 15126   meetcmee 15127   0.cp0 15219   OLcol 32831   Atomscatm 32920   HLchlt 33007   LHypclh 33640   LTrncltrn 33757   trLctrl 33814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-riotaBAD 32616

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-undef 6804  df-map 7228  df-poset 15128  df-plt 15140  df-lub 15156  df-glb 15157  df-join 15158  df-meet 15159  df-p0 15221  df-p1 15222  df-lat 15228  df-clat 15290  df-oposet 32833  df-ol 32835  df-oml 32836  df-covers 32923  df-ats 32924  df-atl 32955  df-cvlat 32979  df-hlat 33008  df-llines 33154  df-lplanes 33155  df-lvols 33156  df-lines 33157  df-psubsp 33159  df-pmap 33160  df-padd 33452  df-lhyp 33644  df-laut 33645  df-ldil 33760  df-ltrn 33761  df-trl 33815

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