Theorem cdlemk9bN 34452

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: is this needed? If so, shorten with cdlemk9 34451 if that one is also needed. (Contributed by NM, 28-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemk.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk.m	|- ./\ = ( meet ` K )

Assertion

Ref	Expression
cdlemk9bN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( G o. `' X ) ) )

Proof of Theorem cdlemk9bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		cdlemk.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemk.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemk.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
5		cdlemk.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemk.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7		cdlemk.r	. . . 4 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
8		cdlemk.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cdlemk8 34450	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) )
10	9	oveq1d 6330	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) ./\ W ) )
11		simp1 1014	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12	2, 4, 5, 6	ltrnel 33749	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
13	12	3adant2r 1271	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
14		eqid 2462	. . . . . 6 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
15	2, 8, 14, 4, 5	lhpmat 33640	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
16	11, 13, 15	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
17	16	oveq1d 6330	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) ./\ W ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( 0. ` K ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) )
18		simp1l 1038	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
19		simp2l 1040	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
20		simp3l 1042	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
21	2, 4, 5, 6	ltrnat 33750	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
22	11, 19, 20, 21	syl3anc 1276	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G ` P ) e. A )
23		simp2r 1041	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X e. T )
24	5, 6	ltrncnv 33756	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> `' G e. T )
25	11, 19, 24	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' G e. T )
26	5, 6	ltrnco 34331	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ `' G e. T ) -> ( X o. `' G ) e. T )
27	11, 23, 25, 26	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. `' G ) e. T )
28	1, 5, 6, 7	trlcl 33775	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' G ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' G ) ) e. B )
29	11, 27, 28	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' G ) ) e. B )
30		simp1r 1039	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
31	1, 5	lhpbase 33608	. . . . 5 |- ( W e. H -> W e. B )
32	30, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. B )
33	2, 5, 6, 7	trlle 33795	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' G ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' G ) ) .<_ W )
34	11, 27, 33	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' G ) ) .<_ W )
35	1, 2, 3, 8, 4	atmod4i2 33477	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( ( G ` P ) e. A /\ ( R ` ( X o. `' G ) ) e. B /\ W e. B ) /\ ( R ` ( X o. `' G ) ) .<_ W ) -> ( ( ( G ` P ) ./\ W ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) ./\ W ) )
36	18, 22, 29, 32, 34, 35	syl131anc 1289	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) ./\ W ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) ./\ W ) )
37		hlol 32972	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. OL )
38	18, 37	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. OL )
39	1, 3, 14	olj02 32837	. . . . 5 |- ( ( K e. OL /\ ( R ` ( X o. `' G ) ) e. B ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
40	38, 29, 39	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
41	5, 6, 7	trlcocnv 34332	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ X e. T ) -> ( R ` ( G o. `' X ) ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
42	11, 19, 23, 41	syl3anc 1276	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' X ) ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
43	40, 42	eqtr4d 2499	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( R ` ( G o. `' X ) ) )
44	17, 36, 43	3eqtr3d 2504	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) ./\ W ) = ( R ` ( G o. `' X ) ) )
45	10, 44	eqtrd 2496	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( G o. `' X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   class class class wbr 4416   `'ccnv 4852   o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   lecple 15246   joincjn 16238   meetcmee 16239   0.cp0 16332   OLcol 32785   Atomscatm 32874   HLchlt 32961   LHypclh 33594   LTrncltrn 33711   trLctrl 33769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-riotaBAD 32570

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-undef 7046  df-map 7500  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770

This theorem is referenced by: (None)