Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk8 Unicode version

Theorem cdlemk8 29716
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 26-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
cdlemk8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk8
StepHypRef Expression
1 coass 5097 . . . . . 6  |-  ( ( X  o.  `' G
)  o.  G )  =  ( X  o.  ( `' G  o.  G
) )
2 simp1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
4 cdlemk.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cdlemk.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdlemk.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
74, 5, 6ltrn1o 29002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
82, 3, 7syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
9 f1ococnv1 5359 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
108, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
1110coeq2d 4753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' G  o.  G ) )  =  ( X  o.  (  _I  |`  B ) ) )
12 simp2r 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  e.  T )
134, 5, 6ltrn1o 29002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T
)  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
142, 12, 13syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
15 f1of 5329 . . . . . . . 8  |-  ( X : B -1-1-onto-> B  ->  X : B
--> B )
16 fcoi1 5272 . . . . . . . 8  |-  ( X : B --> B  -> 
( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
1714, 15, 163syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
1811, 17eqtrd 2285 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' G  o.  G ) )  =  X )
191, 18syl5eq 2297 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X  o.  `' G
)  o.  G )  =  X )
2019fveq1d 5379 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' G )  o.  G
) `  P )  =  ( X `  P ) )
215, 6ltrncnv 29024 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
222, 3, 21syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' G  e.  T )
235, 6ltrnco 29597 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' G )  e.  T
)
242, 12, 22, 23syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  `' G )  e.  T
)
25 simp3l 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
26 cdlemk.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
27 cdlemk.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2826, 27, 5, 6ltrncoval 29023 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  o.  `' G )  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( X  o.  `' G )  o.  G
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' G ) `
 ( G `  P ) ) )
292, 24, 3, 25, 28syl121anc 1192 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' G )  o.  G
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' G ) `
 ( G `  P ) ) )
3020, 29eqtr3d 2287 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( X  o.  `' G ) `  ( G `  P )
) )
3130oveq2d 5726 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' G
) `  ( G `  P ) ) ) )
3226, 27, 5, 6ltrnel 29017 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
33323adant2r 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
34 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
35 cdlemk.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
3626, 34, 27, 5, 6, 35trljat1 29044 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' G )  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G
) ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  (
( X  o.  `' G ) `  ( G `  P )
) ) )
372, 24, 33, 36syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G
) ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  (
( X  o.  `' G ) `  ( G `  P )
) ) )
3831, 37eqtr4d 2288 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3920    _I cid 4197   `'ccnv 4579    |` cres 4582    o. ccom 4584   -->wf 4588   -1-1-onto->wf1o 4591   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   lecple 13089   joincjn 13922   meetcmee 13923   Atomscatm 28142   HLchlt 28229   LHypclh 28862   LTrncltrn 28979   trLctrl 29036
This theorem is referenced by:  cdlemk9  29717  cdlemk9bN  29718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-map 6660  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866  df-laut 28867  df-ldil 28982  df-ltrn 28983  df-trl 29037
  Copyright terms: Public domain W3C validator