Theorem cdlemk5auN 34472

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 3-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk1.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemk1.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk1.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk1.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk1.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk1.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk1.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk1.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk1.s	|- S = ( f e. T |-> ( iota_ i e. T ( i ` P ) = ( ( P .\/ ( R ` f ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( f o. `' F ) ) ) ) ) )
cdlemk1.o	|- O = ( S ` D )

Assertion

Ref	Expression
cdlemk5auN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( D e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` D ) /\ ( D =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( ( D ` P ) .\/ ( R ` D ) ) ./\ ( ( D ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' D ) ) ) ) .<_ ( ( X ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' D ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, i, ./\   .<_ , i   .\/ , f, i   A, i   D, f, i   f, F, i   i, H   i, K   f, N, i   P, f, i   R, f, i   T, f, i   f, W, i

Allowed substitution hints:   A( f)   B( f, i)   S( f, i)   G( f, i)   H( f)   K( f)   .<_ ( f)   O( f, i)   X( f, i)

Proof of Theorem cdlemk5auN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk1.b	. 2 |- B = ( Base ` K )
2		cdlemk1.l	. 2 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemk1.j	. 2 |- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemk1.a	. 2 |- A = ( Atoms ` K )
5		cdlemk1.h	. 2 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemk1.t	. 2 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7		cdlemk1.r	. 2 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
8		cdlemk1.m	. 2 |- ./\ = ( meet ` K )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cdlemk5a 34447	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( D e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` D ) /\ ( D =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) -> ( ( ( D ` P ) .\/ ( R ` D ) ) ./\ ( ( D ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' D ) ) ) ) .<_ ( ( X ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' D ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   class class class wbr 4416   |-> cmpt 4475   _I cid 4763   `'ccnv 4852   |` cres 4855   o. ccom 4857   ` cfv 5601   iota_crio 6276  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   lecple 15246   joincjn 16238   meetcmee 16239   Atomscatm 32874   HLchlt 32961   LHypclh 33594   LTrncltrn 33711   trLctrl 33769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-riotaBAD 32570

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-undef 7046  df-map 7500  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770

This theorem is referenced by: (None)