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Theorem cdlemk55a 35632
Description: Lemma for cdlemk55 35634. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemk5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk5.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk5.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk5.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk5.z  |-  Z  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) )
cdlemk5.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
cdlemk5.x  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T  A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  F )  /\  ( R `  b
)  =/=  ( R `
 g ) )  ->  ( z `  P )  =  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemk55a  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  =  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X ) )
Distinct variable groups:    ./\ , g    .\/ , g    B, g    P, g    R, g    T, g    g, Z    g, b, G, z    ./\ , b, z    .<_ , b    z,
g,  .<_    .\/ , b, z    A, b, g, z    B, b, z    F, b, g, z   
z, G    H, b,
g, z    K, b,
g, z    N, b,
g, z    P, b,
z    R, b, z    T, b, z    W, b, g, z    z, Y    G, b    I, b, g, z   
j, b, g, z
Allowed substitution hints:    A( j)    B( j)    P( j)    R( j)    T( j)    F( j)    G( j)    H( j)    I( j)    .\/ ( j)    K( j)    .<_ ( j)    ./\ ( j)    N( j)    W( j)    X( z, g, j, b)    Y( g, j, b)    Z( z, j, b)

Proof of Theorem cdlemk55a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp211 1129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  F  e.  T )
3 simp212 1130 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
42, 3jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )
5 simp32 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  j  e.  T )
6 simp213 1131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  N  e.  T )
7 simp23 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
8 simp1r 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )
97, 8jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) ) )
10 cdlemk5.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 cdlemk5.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 cdlemk5.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
13 cdlemk5.m . . . . . . . . 9  |-  ./\  =  ( meet `  K )
14 cdlemk5.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
15 cdlemk5.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
16 cdlemk5.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
17 cdlemk5.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
18 cdlemk5.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ( P  .\/  ( R `  b ) )  ./\  ( ( N `  P )  .\/  ( R `  (
b  o.  `' F
) ) ) )
19 cdlemk5.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( ( P  .\/  ( R `  g ) )  ./\  ( Z  .\/  ( R `  (
g  o.  `' b ) ) ) )
20 cdlemk5.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( iota_ z  e.  T  A. b  e.  T  ( ( b  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  b )  =/=  ( R `  F )  /\  ( R `  b
)  =/=  ( R `
 g ) )  ->  ( z `  P )  =  Y ) )
2110, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 35611 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  j  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) ) )  ->  [_ j  /  g ]_ X  e.  T )
221, 4, 5, 6, 9, 21syl131anc 1236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ j  /  g ]_ X  e.  T )
2310, 15, 16ltrn1o 34797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  [_ j  / 
g ]_ X  e.  T
)  ->  [_ j  / 
g ]_ X : B -1-1-onto-> B
)
241, 22, 23syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ j  /  g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
25 f1ococnv2 5835 . . . . . 6  |-  ( [_ j  /  g ]_ X : B -1-1-onto-> B  ->  ( [_ j  /  g ]_ X  o.  `' [_ j  /  g ]_ X )  =  (  _I  |`  B )
)
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( [_ j  /  g ]_ X  o.  `' [_ j  /  g ]_ X )  =  (  _I  |`  B )
)
2726coeq2d 5158 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( [_ ( G  o.  I
)  /  g ]_ X  o.  ( [_ j  /  g ]_ X  o.  `' [_ j  /  g ]_ X ) )  =  ( [_ ( G  o.  I )  / 
g ]_ X  o.  (  _I  |`  B ) ) )
28 simp22 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  G  e.  T )
29 simp31l 1114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  I  e.  T )
3015, 16ltrnco 35392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  I  e.  T
)  ->  ( G  o.  I )  e.  T
)
311, 28, 29, 30syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( G  o.  I )  e.  T )
3210, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 35611 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  ( G  o.  I )  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) ) )  ->  [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  e.  T )
331, 4, 31, 6, 9, 32syl131anc 1236 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  e.  T )
3410, 15, 16ltrn1o 34797 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  [_ ( G  o.  I )  / 
g ]_ X  e.  T
)  ->  [_ ( G  o.  I )  / 
g ]_ X : B -1-1-onto-> B
)
351, 33, 34syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
36 f1of 5809 . . . . 5  |-  ( [_ ( G  o.  I
)  /  g ]_ X : B -1-1-onto-> B  ->  [_ ( G  o.  I )  / 
g ]_ X : B --> B )
37 fcoi1 5752 . . . . 5  |-  ( [_ ( G  o.  I
)  /  g ]_ X : B --> B  -> 
( [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  [_ ( G  o.  I )  / 
g ]_ X )
3835, 36, 373syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( [_ ( G  o.  I
)  /  g ]_ X  o.  (  _I  |`  B ) )  = 
[_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X )
3927, 38eqtr2d 2504 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  =  ( [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  o.  ( [_ j  / 
g ]_ X  o.  `' [_ j  /  g ]_ X ) ) )
40 coass 5519 . . 3  |-  ( (
[_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  o.  [_ j  /  g ]_ X
)  o.  `' [_ j  /  g ]_ X
)  =  ( [_ ( G  o.  I
)  /  g ]_ X  o.  ( [_ j  /  g ]_ X  o.  `' [_ j  /  g ]_ X ) )
4139, 40syl6eqr 2521 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  =  ( ( [_ ( G  o.  I
)  /  g ]_ X  o.  [_ j  / 
g ]_ X )  o.  `' [_ j  /  g ]_ X ) )
4210, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk54 35631 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( [_ ( G  o.  I
)  /  g ]_ X  o.  [_ j  / 
g ]_ X )  =  ( ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X )  o.  [_ j  /  g ]_ X
) )
4342coeq1d 5157 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  (
( [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  o.  [_ j  /  g ]_ X
)  o.  `' [_ j  /  g ]_ X
)  =  ( ( ( [_ G  / 
g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
)  o.  [_ j  /  g ]_ X
)  o.  `' [_ j  /  g ]_ X
) )
44 coass 5519 . . . 4  |-  ( ( ( [_ G  / 
g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
)  o.  [_ j  /  g ]_ X
)  o.  `' [_ j  /  g ]_ X
)  =  ( (
[_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
)  o.  ( [_ j  /  g ]_ X  o.  `' [_ j  /  g ]_ X ) )
4526coeq2d 5158 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  (
( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
)  o.  ( [_ j  /  g ]_ X  o.  `' [_ j  /  g ]_ X ) )  =  ( ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X )  o.  (  _I  |`  B ) ) )
4610, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 35611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  G  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) ) )  ->  [_ G  /  g ]_ X  e.  T )
471, 4, 28, 6, 9, 46syl131anc 1236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ G  /  g ]_ X  e.  T )
4810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20cdlemk35s-id 35611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  /\  I  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) ) )  ->  [_ I  /  g ]_ X  e.  T )
491, 4, 29, 6, 9, 48syl131anc 1236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ I  /  g ]_ X  e.  T )
5015, 16ltrnco 35392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  [_ G  / 
g ]_ X  e.  T  /\  [_ I  /  g ]_ X  e.  T
)  ->  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X )  e.  T
)
511, 47, 49, 50syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
)  e.  T )
5210, 15, 16ltrn1o 34797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X )  e.  T
)  ->  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X ) : B -1-1-onto-> B
)
531, 51, 52syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
) : B -1-1-onto-> B )
54 f1of 5809 . . . . . 6  |-  ( (
[_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
) : B -1-1-onto-> B  -> 
( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
) : B --> B )
55 fcoi1 5752 . . . . . 6  |-  ( (
[_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
) : B --> B  -> 
( ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X )  o.  (  _I  |`  B ) )  =  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X ) )
5653, 54, 553syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  (
( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
)  o.  (  _I  |`  B ) )  =  ( [_ G  / 
g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
) )
5745, 56eqtrd 2503 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  (
( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
)  o.  ( [_ j  /  g ]_ X  o.  `' [_ j  /  g ]_ X ) )  =  ( [_ G  / 
g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X
) )
5844, 57syl5eq 2515 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  (
( ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X )  o.  [_ j  /  g ]_ X
)  o.  `' [_ j  /  g ]_ X
)  =  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X ) )
5943, 58eqtrd 2503 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  (
( [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  o.  [_ j  /  g ]_ X
)  o.  `' [_ j  /  g ]_ X
)  =  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X ) )
6041, 59eqtrd 2503 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  /\  ( ( F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  N  e.  T
)  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( I  e.  T  /\  ( R `
 G )  =  ( R `  I
) )  /\  j  e.  T  /\  (
j  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  G
)  /\  ( R `  j )  =/=  ( R `  ( G  o.  I ) ) ) ) )  ->  [_ ( G  o.  I )  /  g ]_ X  =  ( [_ G  /  g ]_ X  o.  [_ I  /  g ]_ X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   [_csb 3430   class class class wbr 4442    _I cid 4785   `'ccnv 4993    |` cres 4996    o. ccom 4998   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   iota_crio 6237  (class class class)co 6277   Basecbs 14481   lecple 14553   joincjn 15422   meetcmee 15423   Atomscatm 33937   HLchlt 34024   LHypclh 34657   LTrncltrn 34774   trLctrl 34831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-riotaBAD 33633
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-undef 6994  df-map 7414  df-poset 15424  df-plt 15436  df-lub 15452  df-glb 15453  df-join 15454  df-meet 15455  df-p0 15517  df-p1 15518  df-lat 15524  df-clat 15586  df-oposet 33850  df-ol 33852  df-oml 33853  df-covers 33940  df-ats 33941  df-atl 33972  df-cvlat 33996  df-hlat 34025  df-llines 34171  df-lplanes 34172  df-lvols 34173  df-lines 34174  df-psubsp 34176  df-pmap 34177  df-padd 34469  df-lhyp 34661  df-laut 34662  df-ldil 34777  df-ltrn 34778  df-trl 34832
This theorem is referenced by:  cdlemk55b  35633
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