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Theorem cdlemk4 34478
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use  X for their h, since  H is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
cdlemk4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 1012 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 1014 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 simp3l 1016 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
5 cdlemk.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemk.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemk.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemk.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 33784 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
102, 3, 4, 9syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
11 simp2r 1015 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  e.  T )
125, 6, 7, 8ltrnat 33784 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( X `  P )  e.  A
)
132, 11, 4, 12syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  A
)
14 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
155, 14, 6hlatlej1 33019 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
161, 10, 13, 15syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
17 hllat 33008 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
181, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
19 cdlemk.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2019, 6atbase 32934 . . . . . 6  |-  ( ( F `  P )  e.  A  ->  ( F `  P )  e.  B )
2110, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  B
)
2219, 6atbase 32934 . . . . . 6  |-  ( ( X `  P )  e.  A  ->  ( X `  P )  e.  B )
2313, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  B
)
2419, 14latjcl 15221 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  P )  e.  B  /\  ( X `  P )  e.  B )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  e.  B )
2518, 21, 23, 24syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  e.  B
)
26 simp1r 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
2719, 7lhpbase 33642 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
295, 14, 6hlatlej2 33020 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
301, 10, 13, 29syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
31 cdlemk.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3219, 5, 14, 31, 6atmod3i1 33508 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X `  P )  e.  A  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  ( X `  P
)  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) ) )  ->  (
( X `  P
)  .\/  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
331, 13, 25, 28, 30, 32syl131anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) ) )
347, 8ltrncnv 33790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
352, 3, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
367, 8ltrnco 34363 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
372, 11, 35, 36syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
385, 6, 7, 8ltrnel 33783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
393, 38syld3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
40 cdlemk.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
415, 14, 31, 6, 7, 8, 40trlval2 33807 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
422, 37, 39, 41syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
4319, 7, 8ltrn1o 33768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
442, 3, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
45 f1ococnv1 5669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4746coeq2d 5002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( X  o.  (  _I  |`  B ) ) )
4819, 7, 8ltrn1o 33768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T
)  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
492, 11, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
50 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B -1-1-onto-> B  ->  X : B
--> B )
51 fcoi1 5585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B --> B  -> 
( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5347, 52eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) ) )
54 coass 5356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) )
5553, 54syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) )
5655fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )
)
575, 6, 7, 8ltrncoval 33789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
582, 37, 3, 4, 57syl121anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
5956, 58eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )
6059oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) )
6160eqcomd 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) ) )
6261oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) 
./\  W )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6342, 62eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6463oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F
) ) )  =  ( ( X `  P )  .\/  (
( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  W )
) )
655, 6, 7, 8ltrnel 33783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
6611, 65syld3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
67 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
685, 14, 67, 6, 7lhpjat2 33665 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X `
 P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )  -> 
( ( X `  P )  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
692, 66, 68syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
7069oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( 1. `  K ) ) )
71 hlol 33006 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
721, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
7319, 31, 67olm11 32872 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B )  ->  ( ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7472, 25, 73syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7570, 74eqtr2d 2476 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
7633, 64, 753eqtr4rd 2486 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( X `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
7716, 76breqtrd 4316 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292    _I cid 4631   `'ccnv 4839    |` cres 4842    o. ccom 4844   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   joincjn 15114   meetcmee 15115   1.cp1 15208   Latclat 15215   OLcol 32819   Atomscatm 32908   HLchlt 32995   LHypclh 33628   LTrncltrn 33745   trLctrl 33802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-undef 6792  df-map 7216  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803
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