Theorem cdlemk10 34454

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 29-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemk.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk.v1	|- V = ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cdlemk10	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> V .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) )

Proof of Theorem cdlemk10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk.v1	. 2 |- V = ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) )
2		simp1 1014	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
3		simp22 1048	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
4		simp21 1047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
5		cdlemk.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemk.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7	5, 6	ltrncnv 33755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
8	2, 4, 7	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' F e. T )
9	5, 6	ltrnco 34330	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
10	2, 3, 8, 9	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
11		cdlemk.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
12		cdlemk.r	. . . . . . 7 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
13	11, 5, 6, 12	trlle 33794	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
14	2, 10, 13	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
15		simp23 1049	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X e. T )
16	5, 6	ltrnco 34330	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ `' F e. T ) -> ( X o. `' F ) e. T )
17	2, 15, 8, 16	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. `' F ) e. T )
18	11, 5, 6, 12	trlle 33794	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W )
19	2, 17, 18	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W )
20		simp1l 1038	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
21		hllat 32973	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. Lat )
23		cdlemk.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` K )
24	23, 5, 6, 12	trlcl 33774	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
25	2, 10, 24	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
26	23, 5, 6, 12	trlcl 33774	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B )
27	2, 17, 26	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B )
28		simp1r 1039	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
29	23, 5	lhpbase 33607	. . . . . . 7 |- ( W e. H -> W e. B )
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. B )
31		cdlemk.j	. . . . . . 7 |- .\/ = ( join ` K )
32	23, 11, 31	latjle12 16356	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) <-> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W ) )
33	22, 25, 27, 30, 32	syl13anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) <-> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W ) )
34	14, 19, 33	mpbi2and 937	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W )
35	23, 31	latjcl 16345	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B )
36	22, 25, 27, 35	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B )
37		simp3l 1042	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
38		cdlemk.a	. . . . . . . 8 |- A = ( Atoms ` K )
39	11, 38, 5, 6	ltrnat 33749	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
40	2, 3, 37, 39	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G ` P ) e. A )
41	11, 38, 5, 6	ltrnat 33749	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ P e. A ) -> ( X ` P ) e. A )
42	2, 15, 37, 41	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X ` P ) e. A )
43	23, 31, 38	hlatjcl 32976	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( G ` P ) e. A /\ ( X ` P ) e. A ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B )
44	20, 40, 42, 43	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B )
45		cdlemk.m	. . . . . 6 |- ./\ = ( meet ` K )
46	23, 11, 45	latmlem2 16376	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B /\ W e. B /\ ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) ) )
47	22, 36, 30, 44, 46	syl13anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) ) )
48	34, 47	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) )
49		simp3 1016	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
50	23, 11, 31, 38, 5, 6, 12, 45	cdlemk9 34450	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
51	20, 28, 3, 15, 49, 50	syl221anc 1287	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
52	48, 51	breqtrd 4440	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) )
53	1, 52	syl5eqbr 4449	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> V .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   class class class wbr 4415   `'ccnv 4851   o. ccom 4856   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Basecbs 15169   lecple 15245   joincjn 16237   meetcmee 16238   Latclat 16339   Atomscatm 32873   HLchlt 32960   LHypclh 33593   LTrncltrn 33710   trLctrl 33768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-riotaBAD 32569

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-undef 7045  df-map 7499  df-preset 16221  df-poset 16239  df-plt 16252  df-lub 16268  df-glb 16269  df-join 16270  df-meet 16271  df-p0 16333  df-p1 16334  df-lat 16340  df-clat 16402  df-oposet 32786  df-ol 32788  df-oml 32789  df-covers 32876  df-ats 32877  df-atl 32908  df-cvlat 32932  df-hlat 32961  df-llines 33107  df-lplanes 33108  df-lvols 33109  df-lines 33110  df-psubsp 33112  df-pmap 33113  df-padd 33405  df-lhyp 33597  df-laut 33598  df-ldil 33713  df-ltrn 33714  df-trl 33769

This theorem is referenced by:  cdlemk11  34460  cdlemk11u  34482