Theorem cdlemk10 35639

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 29-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemk.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk.v1	|- V = ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cdlemk10	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> V .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) )

Proof of Theorem cdlemk10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk.v1	. 2 |- V = ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) )
2		simp1 996	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
3		simp22 1030	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
4		simp21 1029	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
5		cdlemk.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemk.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7	5, 6	ltrncnv 34942	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
8	2, 4, 7	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' F e. T )
9	5, 6	ltrnco 35515	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
10	2, 3, 8, 9	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
11		cdlemk.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
12		cdlemk.r	. . . . . . 7 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
13	11, 5, 6, 12	trlle 34980	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
14	2, 10, 13	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
15		simp23 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X e. T )
16	5, 6	ltrnco 35515	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ `' F e. T ) -> ( X o. `' F ) e. T )
17	2, 15, 8, 16	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. `' F ) e. T )
18	11, 5, 6, 12	trlle 34980	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W )
19	2, 17, 18	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W )
20		simp1l 1020	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
21		hllat 34160	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
22	20, 21	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. Lat )
23		cdlemk.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` K )
24	23, 5, 6, 12	trlcl 34960	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
25	2, 10, 24	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
26	23, 5, 6, 12	trlcl 34960	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B )
27	2, 17, 26	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B )
28		simp1r 1021	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
29	23, 5	lhpbase 34794	. . . . . . 7 |- ( W e. H -> W e. B )
30	28, 29	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. B )
31		cdlemk.j	. . . . . . 7 |- .\/ = ( join ` K )
32	23, 11, 31	latjle12 15542	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) <-> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W ) )
33	22, 25, 27, 30, 32	syl13anc 1230	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) .<_ W ) <-> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W ) )
34	14, 19, 33	mpbi2and 919	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W )
35	23, 31	latjcl 15531	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ ( R ` ( X o. `' F ) ) e. B ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B )
36	22, 25, 27, 35	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B )
37		simp3l 1024	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
38		cdlemk.a	. . . . . . . 8 |- A = ( Atoms ` K )
39	11, 38, 5, 6	ltrnat 34936	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
40	2, 3, 37, 39	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G ` P ) e. A )
41	11, 38, 5, 6	ltrnat 34936	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ P e. A ) -> ( X ` P ) e. A )
42	2, 15, 37, 41	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X ` P ) e. A )
43	23, 31, 38	hlatjcl 34163	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( G ` P ) e. A /\ ( X ` P ) e. A ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B )
44	20, 40, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B )
45		cdlemk.m	. . . . . 6 |- ./\ = ( meet ` K )
46	23, 11, 45	latmlem2 15562	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) e. B /\ W e. B /\ ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) e. B ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) ) )
47	22, 36, 30, 44, 46	syl13anc 1230	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) .<_ W -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) ) )
48	34, 47	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) )
49		simp3 998	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
50	23, 11, 31, 38, 5, 6, 12, 45	cdlemk9 35635	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
51	20, 28, 3, 15, 49, 50	syl221anc 1239	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ W ) = ( R ` ( X o. `' G ) ) )
52	48, 51	breqtrd 4471	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) ./\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) .\/ ( R ` ( X o. `' F ) ) ) ) .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) )
53	1, 52	syl5eqbr 4480	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> V .<_ ( R ` ( X o. `' G ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483   lecple 14555   joincjn 15424   meetcmee 15425   Latclat 15525   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   trLctrl 34954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-map 7419  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955

This theorem is referenced by:  cdlemk11  35645  cdlemk11u  35667