Theorem cdlemi2 31301

Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemi.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemi.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemi.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemi.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemi.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemi.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemi.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemi.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemi.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
cdlemi2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 981	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
2		simp1r 982	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
3		simp21 990	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. E )
4		simp1 957	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5		simp23 992	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
6		simp22 991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
7		cdlemi.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
8		cdlemi.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
9	7, 8	ltrncnv 30628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
10	4, 6, 9	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' F e. T )
11	7, 8	ltrnco 31201	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
12	4, 5, 10, 11	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
13		cdlemi.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
14	7, 8, 13	tendovalco 31247	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ U e. E ) /\ ( ( G o. `' F ) e. T /\ F e. T ) ) -> ( U ` ( ( G o. `' F ) o. F ) ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) )
15	1, 2, 3, 12, 6, 14	syl32anc 1192	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( ( G o. `' F ) o. F ) ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) )
16		coass 5347	. . . . . . 7 |- ( ( G o. `' F ) o. F ) = ( G o. ( `' F o. F ) )
17		cdlemi.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` K )
18	17, 7, 8	ltrn1o 30606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
19	4, 6, 18	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
20		f1ococnv1 5663	. . . . . . . . . 10 |- ( F : B -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
22	21	coeq2d 4994	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( `' F o. F ) ) = ( G o. ( _I |` B ) ) )
23	17, 7, 8	ltrn1o 30606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : B -1-1-onto-> B )
24	4, 5, 23	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G : B -1-1-onto-> B )
25		f1of 5633	. . . . . . . . 9 |- ( G : B -1-1-onto-> B -> G : B --> B )
26		fcoi1 5576	. . . . . . . . 9 |- ( G : B --> B -> ( G o. ( _I |` B ) ) = G )
27	24, 25, 26	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( _I |` B ) ) = G )
28	22, 27	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( `' F o. F ) ) = G )
29	16, 28	syl5eq 2448	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G o. `' F ) o. F ) = G )
30	29	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( ( G o. `' F ) o. F ) ) = ( U ` G ) )
31	15, 30	eqtr3d 2438	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) = ( U ` G ) )
32	31	fveq1d 5689	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) ` P ) = ( ( U ` G ) ` P ) )
33	7, 8, 13	tendocl 31249	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( U ` ( G o. `' F ) ) e. T )
34	4, 3, 12, 33	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( G o. `' F ) ) e. T )
35	7, 8, 13	tendocl 31249	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ F e. T ) -> ( U ` F ) e. T )
36	4, 3, 6, 35	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` F ) e. T )
37		simp3l 985	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
38		cdlemi.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
39		cdlemi.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
40	38, 39, 7, 8	ltrncoval 30627	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( U ` ( G o. `' F ) ) e. T /\ ( U ` F ) e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) ` P ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) )
41	4, 34, 36, 37, 40	syl121anc 1189	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) ` P ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) )
42	32, 41	eqtr3d 2438	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) )
43	38, 39, 7, 8	ltrnel 30621	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` F ) e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) )
44	36, 43	syld3an2 1231	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) )
45		cdlemi.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
46		cdlemi.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
47		cdlemi.r	. . . 4 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
48	17, 38, 45, 46, 39, 7, 8, 47, 13	cdlemi1 31300	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ ( G o. `' F ) e. T ) /\ ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
49	4, 3, 12, 44, 48	syl121anc 1189	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
50	42, 49	eqbrtrd 4192	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   _I cid 4453   `'ccnv 4836   |` cres 4839   o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640   TEndoctendo 31234

This theorem is referenced by:  cdlemi  31302

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237