Theorem cdlemi2 36688

Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemi.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemi.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemi.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemi.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemi.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemi.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemi.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemi.r	|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemi.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
cdlemi2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1020	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
2		simp1r 1021	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
3		simp21 1029	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. E )
4		simp1 996	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5		simp23 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
6		simp22 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
7		cdlemi.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
8		cdlemi.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
9	7, 8	ltrncnv 36013	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
10	4, 6, 9	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' F e. T )
11	7, 8	ltrnco 36588	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
12	4, 5, 10, 11	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
13		cdlemi.e	. . . . . . 7 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
14	7, 8, 13	tendovalco 36634	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ U e. E ) /\ ( ( G o. `' F ) e. T /\ F e. T ) ) -> ( U ` ( ( G o. `' F ) o. F ) ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) )
15	1, 2, 3, 12, 6, 14	syl32anc 1236	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( ( G o. `' F ) o. F ) ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) )
16		coass 5532	. . . . . . 7 |- ( ( G o. `' F ) o. F ) = ( G o. ( `' F o. F ) )
17		cdlemi.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` K )
18	17, 7, 8	ltrn1o 35991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
19	4, 6, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
20		f1ococnv1 5850	. . . . . . . . . 10 |- ( F : B -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
22	21	coeq2d 5175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( `' F o. F ) ) = ( G o. ( _I |` B ) ) )
23	17, 7, 8	ltrn1o 35991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : B -1-1-onto-> B )
24	4, 5, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G : B -1-1-onto-> B )
25		f1of 5822	. . . . . . . . 9 |- ( G : B -1-1-onto-> B -> G : B --> B )
26		fcoi1 5765	. . . . . . . . 9 |- ( G : B --> B -> ( G o. ( _I |` B ) ) = G )
27	24, 25, 26	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( _I |` B ) ) = G )
28	22, 27	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( `' F o. F ) ) = G )
29	16, 28	syl5eq 2510	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G o. `' F ) o. F ) = G )
30	29	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( ( G o. `' F ) o. F ) ) = ( U ` G ) )
31	15, 30	eqtr3d 2500	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) = ( U ` G ) )
32	31	fveq1d 5874	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) ` P ) = ( ( U ` G ) ` P ) )
33	7, 8, 13	tendocl 36636	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( U ` ( G o. `' F ) ) e. T )
34	4, 3, 12, 33	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( G o. `' F ) ) e. T )
35	7, 8, 13	tendocl 36636	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ F e. T ) -> ( U ` F ) e. T )
36	4, 3, 6, 35	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` F ) e. T )
37		simp3l 1024	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
38		cdlemi.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
39		cdlemi.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
40	38, 39, 7, 8	ltrncoval 36012	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( U ` ( G o. `' F ) ) e. T /\ ( U ` F ) e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) ` P ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) )
41	4, 34, 36, 37, 40	syl121anc 1233	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` ( G o. `' F ) ) o. ( U ` F ) ) ` P ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) )
42	32, 41	eqtr3d 2500	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) = ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) )
43	38, 39, 7, 8	ltrnel 36006	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` F ) e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) )
44	36, 43	syld3an2 1275	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) )
45		cdlemi.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
46		cdlemi.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
47		cdlemi.r	. . . 4 |- R = ( ( trL ` K ) ` W )
48	17, 38, 45, 46, 39, 7, 8, 47, 13	cdlemi1 36687	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ ( G o. `' F ) e. T ) /\ ( ( ( U ` F ) ` P ) e. A /\ -. ( ( U ` F ) ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
49	4, 3, 12, 44, 48	syl121anc 1233	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` ( G o. `' F ) ) ` ( ( U ` F ) ` P ) ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
50	42, 49	eqbrtrd 4476	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( ( ( U ` F ) ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   class class class wbr 4456   _I cid 4799   `'ccnv 5007   |` cres 5010   o. ccom 5012   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   lecple 14719   joincjn 15700   meetcmee 15701   Atomscatm 35131   HLchlt 35218   LHypclh 35851   LTrncltrn 35968   trLctrl 36026   TEndoctendo 36621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-riotaBAD 34827

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-undef 7020  df-map 7440  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-p1 15797  df-lat 15803  df-clat 15865  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-lplanes 35366  df-lvols 35367  df-lines 35368  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663  df-lhyp 35855  df-laut 35856  df-ldil 35971  df-ltrn 35972  df-trl 36027  df-tendo 36624

This theorem is referenced by:  cdlemi  36689