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Theorem cdlemi1 36284
Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemi.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemi.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemi.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemi.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemi.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemi.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemi.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemi1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )

Proof of Theorem cdlemi1
StepHypRef Expression
1 cdlemi.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdlemi.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simp1l 1021 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 34828 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp1 997 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp2l 1023 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  U  e.  E )
8 simp2r 1024 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
9 cdlemi.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 cdlemi.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 cdlemi.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
129, 10, 11tendocl 36233 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( U `  G )  e.  T
)
136, 7, 8, 12syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( U `  G )  e.  T
)
14 simp3l 1025 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
15 cdlemi.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
161, 15atbase 34754 . . . 4  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
1714, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  B )
181, 9, 10ltrncl 35589 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  G )  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( U `  G ) `  P )  e.  B
)
196, 13, 17, 18syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  e.  B
)
20 cdlemi.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
211, 9, 10, 20trlcl 35629 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  G )  e.  T
)  ->  ( R `  ( U `  G
) )  e.  B
)
226, 13, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( U `  G
) )  e.  B
)
23 cdlemi.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
241, 23latjcl 15659 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( R `  ( U `
 G ) )  e.  B )  -> 
( P  .\/  ( R `  ( U `  G ) ) )  e.  B )
255, 17, 22, 24syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  ( U `  G )
) )  e.  B
)
261, 9, 10, 20trlcl 35629 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  B
)
276, 8, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  e.  B
)
281, 23latjcl 15659 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( R `  G )  e.  B )  -> 
( P  .\/  ( R `  G )
)  e.  B )
295, 17, 27, 28syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G
) )  e.  B
)
301, 2, 23latlej2 15669 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( ( U `  G ) `  P
)  e.  B )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( ( U `
 G ) `  P ) ) )
315, 17, 19, 30syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( ( U `
 G ) `  P ) ) )
32 cdlemi.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
332, 23, 32, 15, 9, 10, 20trlval2 35628 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  G )  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( U `  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( U `  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
3413, 33syld3an2 1276 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( U `  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( U `  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
3534oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  ( U `  G )
) )  =  ( P  .\/  ( ( P  .\/  ( ( U `  G ) `
 P ) ) 
./\  W ) ) )
361, 23latjcl 15659 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( ( U `  G ) `  P
)  e.  B )  ->  ( P  .\/  ( ( U `  G ) `  P
) )  e.  B
)
375, 17, 19, 36syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( ( U `  G ) `  P
) )  e.  B
)
38 simp1r 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
391, 9lhpbase 35462 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
4038, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
411, 2, 23latlej1 15668 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( ( U `  G ) `  P
)  e.  B )  ->  P  .<_  ( P 
.\/  ( ( U `
 G ) `  P ) ) )
425, 17, 19, 41syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( ( U `  G ) `
 P ) ) )
431, 2, 23, 32, 15atmod3i1 35328 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( P  .\/  (
( U `  G
) `  P )
)  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  P  .<_  ( P 
.\/  ( ( U `
 G ) `  P ) ) )  ->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  ( ( U `  G ) `  P
) )  ./\  W
) )  =  ( ( P  .\/  (
( U `  G
) `  P )
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
443, 14, 37, 40, 42, 43syl131anc 1242 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  ( ( U `  G ) `  P
) )  ./\  W
) )  =  ( ( P  .\/  (
( U `  G
) `  P )
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
45 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
462, 23, 45, 15, 9lhpjat2 35485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
47463adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
4847oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( ( U `
 G ) `  P ) )  ./\  ( P  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  ( ( U `  G ) `
 P ) ) 
./\  ( 1. `  K ) ) )
49 hlol 34826 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
503, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
511, 32, 45olm11 34692 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  ( ( U `  G ) `
 P ) )  e.  B )  -> 
( ( P  .\/  ( ( U `  G ) `  P
) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  ( ( U `  G ) `  P
) ) )
5250, 37, 51syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( ( U `
 G ) `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P 
.\/  ( ( U `
 G ) `  P ) ) )
5348, 52eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( ( U `
 G ) `  P ) )  ./\  ( P  .\/  W ) )  =  ( P 
.\/  ( ( U `
 G ) `  P ) ) )
5435, 44, 533eqtrd 2488 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  ( U `  G )
) )  =  ( P  .\/  ( ( U `  G ) `
 P ) ) )
5531, 54breqtrrd 4463 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  ( U `  G ) ) ) )
562, 9, 10, 20, 11tendotp 36227 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( U `  G
) )  .<_  ( R `
 G ) )
576, 7, 8, 56syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( U `  G
) )  .<_  ( R `
 G ) )
581, 2, 23latjlej2 15674 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  ( U `  G ) )  e.  B  /\  ( R `  G )  e.  B  /\  P  e.  B ) )  -> 
( ( R `  ( U `  G ) )  .<_  ( R `  G )  ->  ( P  .\/  ( R `  ( U `  G ) ) )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) ) )
595, 22, 27, 17, 58syl13anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  ( U `  G ) )  .<_  ( R `  G )  ->  ( P  .\/  ( R `  ( U `
 G ) ) )  .<_  ( P  .\/  ( R `  G
) ) ) )
6057, 59mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  ( U `  G )
) )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )
611, 2, 5, 19, 25, 29, 55, 60lattrd 15666 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   lecple 14685   joincjn 15551   meetcmee 15552   1.cp1 15646   Latclat 15653   OLcol 34639   Atomscatm 34728   HLchlt 34815   LHypclh 35448   LTrncltrn 35565   trLctrl 35623   TEndoctendo 36218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-map 7424  df-preset 15535  df-poset 15553  df-plt 15566  df-lub 15582  df-glb 15583  df-join 15584  df-meet 15585  df-p0 15647  df-p1 15648  df-lat 15654  df-clat 15716  df-oposet 34641  df-ol 34643  df-oml 34644  df-covers 34731  df-ats 34732  df-atl 34763  df-cvlat 34787  df-hlat 34816  df-psubsp 34967  df-pmap 34968  df-padd 35260  df-lhyp 35452  df-laut 35453  df-ldil 35568  df-ltrn 35569  df-trl 35624  df-tendo 36221
This theorem is referenced by:  cdlemi2  36285  cdlemi  36286
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