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Theorem cdlemi 35833
Description: Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemi.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemi.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemi.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemi.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemi.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemi.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemi.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
cdlemi.s  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemi  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  =  S )

Proof of Theorem cdlemi
StepHypRef Expression
1 simp11l 1107 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp11r 1108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  W  e.  H
)
3 simp2l 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  U  e.  E
)
4 simp13 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
5 simp2r 1023 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
6 cdlemi.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 cdlemi.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdlemi.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdlemi.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 cdlemi.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 cdlemi.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdlemi.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
13 cdlemi.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
14 cdlemi.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 35831 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 15syl221anc 1239 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )
17 simp12 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
186, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi2 35832 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
191, 2, 3, 17, 4, 5, 18syl231anc 1248 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
20 hllat 34377 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
211, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  Lat )
22 simp11 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2311, 12, 14tendocl 35780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( U `  G )  e.  T
)
2422, 3, 4, 23syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( U `  G )  e.  T
)
25 simp2rl 1065 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  A
)
266, 10atbase 34303 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  B
)
286, 11, 12ltrncl 35138 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  G )  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( U `  G ) `  P )  e.  B
)
2922, 24, 27, 28syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  e.  B
)
306, 11, 12, 13trlcl 35177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  B
)
3122, 4, 30syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  B
)
326, 8latjcl 15541 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( R `  G )  e.  B )  -> 
( P  .\/  ( R `  G )
)  e.  B )
3321, 27, 31, 32syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  e.  B )
3411, 12, 14tendocl 35780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( U `  F )  e.  T
)
3522, 3, 17, 34syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( U `  F )  e.  T
)
366, 11, 12ltrncl 35138 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  F )  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( U `  F ) `  P )  e.  B
)
3722, 35, 27, 36syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 F ) `  P )  e.  B
)
3811, 12ltrncnv 35159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
3922, 17, 38syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
4011, 12ltrnco 35732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
4122, 4, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
426, 11, 12, 13trlcl 35177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
4322, 41, 42syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
446, 8latjcl 15541 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( U `  F ) `  P
)  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
4521, 37, 43, 44syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
466, 7, 9latlem12 15568 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( U `
 G ) `  P )  e.  B  /\  ( P  .\/  ( R `  G )
)  e.  B  /\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( U `  G
) `  P )  .<_  ( P  .\/  ( R `  G )
)  /\  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  <-> 
( ( U `  G ) `  P
)  .<_  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) ) )
4721, 29, 33, 45, 46syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( ( U `  G
) `  P )  .<_  ( P  .\/  ( R `  G )
)  /\  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  <-> 
( ( U `  G ) `  P
)  .<_  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) ) )
4816, 19, 47mpbi2and 919 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
49 hlatl 34374 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
501, 49syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
517, 10, 11, 12ltrnat 35153 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  G )  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( U `  G ) `  P )  e.  A
)
5222, 24, 25, 51syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  e.  A
)
537, 10, 11, 12ltrnel 35152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  F )  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  F
) `  P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W ) )
5422, 35, 5, 53syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( U `  F ) `
 P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W ) )
556, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 35831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  F ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) )
561, 2, 3, 17, 5, 55syl221anc 1239 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 F ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) )
575, 54, 563jca 1176 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  e.  A  /\  -.  ( ( U `
 F ) `  P )  .<_  W )  /\  ( ( U `
 F ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) ) )
58 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
596, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 58cdlemh 35830 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W )  /\  (
( U `  F
) `  P )  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A  /\  -.  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) ) 
.<_  W ) )
6059simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W )  /\  (
( U `  F
) `  P )  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A )
6157, 60syld3an2 1275 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A )
627, 10atcmp 34325 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  (
( U `  G
) `  P )  e.  A  /\  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  e.  A )  -> 
( ( ( U `
 G ) `  P )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  <->  ( ( U `  G ) `  P )  =  ( ( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) ) ) )
6350, 52, 61, 62syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( U `  G ) `
 P )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  <-> 
( ( U `  G ) `  P
)  =  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) ) )
6448, 63mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  =  ( ( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) ) )
65 cdlemi.s . 2  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
6664, 65syl6eqr 2526 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447    _I cid 4790   `'ccnv 4998    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   lecple 14565   joincjn 15434   meetcmee 15435   Latclat 15535   Atomscatm 34277   AtLatcal 34278   HLchlt 34364   LHypclh 34997   LTrncltrn 35114   trLctrl 35171   TEndoctendo 35765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-riotaBAD 33973
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-undef 7003  df-map 7423  df-poset 15436  df-plt 15448  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-p0 15529  df-p1 15530  df-lat 15536  df-clat 15598  df-oposet 34190  df-ol 34192  df-oml 34193  df-covers 34280  df-ats 34281  df-atl 34312  df-cvlat 34336  df-hlat 34365  df-llines 34511  df-lplanes 34512  df-lvols 34513  df-lines 34514  df-psubsp 34516  df-pmap 34517  df-padd 34809  df-lhyp 35001  df-laut 35002  df-ldil 35117  df-ltrn 35118  df-trl 35172  df-tendo 35768
This theorem is referenced by:  cdlemj1  35834
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