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Theorem cdlemh2 34823
Description: Part of proof of Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 16-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemh.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemh.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemh.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemh.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemh.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemh.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemh.s  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
cdlemh.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
cdlemh2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( S  ./\  W )  =  .0.  )

Proof of Theorem cdlemh2
StepHypRef Expression
1 simp11l 1099 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  K  e.  HL )
2 hlol 33369 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  K  e.  OL )
4 hllat 33371 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp2ll 1055 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  P  e.  A )
7 cdlemh.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 cdlemh.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
97, 8atbase 33297 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
106, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  P  e.  B )
11 simp11r 1100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  W  e.  H )
121, 11jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simp13 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  G  e.  T )
14 cdlemh.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 cdlemh.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
16 cdlemh.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
177, 14, 15, 16trlcl 34171 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  B
)
1812, 13, 17syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  G )  e.  B )
19 cdlemh.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
207, 19latjcl 15344 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( R `  G )  e.  B )  -> 
( P  .\/  ( R `  G )
)  e.  B )
215, 10, 18, 20syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  e.  B )
22 simp2rl 1057 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  Q  e.  A )
237, 8atbase 33297 . . . . . 6  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  Q  e.  B )
25 simp12 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  F  e.  T )
2614, 15ltrncnv 34153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
2712, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  `' F  e.  T )
2814, 15ltrnco 34726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
2912, 13, 27, 28syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( G  o.  `' F
)  e.  T )
307, 14, 15, 16trlcl 34171 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
3112, 29, 30syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
327, 19latjcl 15344 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
335, 24, 31, 32syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B )
347, 14lhpbase 34005 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
3511, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  W  e.  B )
36 cdlemh.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
377, 36latmassOLD 33237 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  e.  B  /\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B  /\  W  e.  B ) )  -> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )  ./\  W )  =  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ./\  W
) ) )
383, 21, 33, 35, 37syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  (
( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) ) 
./\  W )  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  W ) ) )
39 simp2r 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
40 cdlemh.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
41 cdlemh.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
4240, 36, 41, 8, 14lhpmat 34037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( Q  ./\  W
)  =  .0.  )
4312, 39, 42syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( Q  ./\  W )  =  .0.  )
4443oveq1d 6218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  (
( Q  ./\  W
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  (  .0.  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
4540, 14, 15, 16trlle 34191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
4612, 29, 45syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
477, 40, 19, 36, 8atmod4i2 33874 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )  ->  (
( Q  ./\  W
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  W ) )
481, 22, 31, 35, 46, 47syl131anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  (
( Q  ./\  W
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  W ) )
497, 19, 41olj02 33234 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  (  .0.  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
503, 31, 49syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  (  .0.  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
5144, 48, 503eqtr3rd 2504 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =  ( ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ./\  W
) )
5251oveq2d 6219 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ./\  W
) ) )
53 simp2l 1014 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
5413, 27jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T
) )
55 simp33 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )
5655necomd 2723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  F
) )
5714, 15, 16trlcnv 34172 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
5812, 25, 57syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  `' F
)  =  ( R `
 F ) )
5956, 58neeqtrrd 2752 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F ) )
60 simp31 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
617, 14, 15ltrncnvnid 34134 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
6212, 25, 60, 61syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
637, 14, 15, 16trlcone 34735 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  (
( R `  G
)  =/=  ( R `
 `' F )  /\  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
6412, 54, 59, 62, 63syl112anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
65 simp32 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
667, 8, 14, 15, 16trlnidat 34180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  G )  e.  A
)
6712, 13, 65, 66syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  G )  e.  A )
6840, 14, 15, 16trlle 34191 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  .<_  W )
6912, 13, 68syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  G )  .<_  W )
708, 14, 15, 16trlcoat 34730 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F ) )  -> 
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A
)
7112, 54, 59, 70syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
7240, 19, 36, 41, 8, 14lhp2at0 34039 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  /\  ( ( R `
 G )  e.  A  /\  ( R `
 G )  .<_  W )  /\  (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  .0.  )
7312, 53, 64, 67, 69, 71, 46, 72syl322anc 1247 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  .0.  )
7438, 52, 733eqtr2rd 2502 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  .0.  =  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  ./\  W ) )
75 cdlemh.s . . 3  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
7675oveq1i 6213 . 2  |-  ( S 
./\  W )  =  ( ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )  ./\  W )
7774, 76syl6reqr 2514 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( S  ./\  W )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403    _I cid 4742   `'ccnv 4950    |` cres 4953    o. ccom 4955   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   lecple 14368   joincjn 15237   meetcmee 15238   0.cp0 15330   Latclat 15338   OLcol 33182   Atomscatm 33271   HLchlt 33358   LHypclh 33991   LTrncltrn 34108   trLctrl 34165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-riotaBAD 32967
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-undef 6905  df-map 7329  df-poset 15239  df-plt 15251  df-lub 15267  df-glb 15268  df-join 15269  df-meet 15270  df-p0 15332  df-p1 15333  df-lat 15339  df-clat 15401  df-oposet 33184  df-ol 33186  df-oml 33187  df-covers 33274  df-ats 33275  df-atl 33306  df-cvlat 33330  df-hlat 33359  df-llines 33505  df-lplanes 33506  df-lvols 33507  df-lines 33508  df-psubsp 33510  df-pmap 33511  df-padd 33803  df-lhyp 33995  df-laut 33996  df-ldil 34111  df-ltrn 34112  df-trl 34166
This theorem is referenced by:  cdlemh  34824
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