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Theorem cdlemh1 31297
Description: Part of proof of Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemh.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemh.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemh.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemh.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemh.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemh.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemh.s  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemh1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemh1
StepHypRef Expression
1 cdlemh.s . . 3  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
21oveq1i 6050 . 2  |-  ( S 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
3 simp11l 1068 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 simp11 987 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp13 989 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
6 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
7 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
87necomd 2650 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  F )
)
9 cdlemh.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 cdlemh.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 cdlemh.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
12 cdlemh.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
139, 10, 11, 12trlcocnvat 31206 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  F
) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
144, 5, 6, 8, 13syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
15 hllat 29846 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
163, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  Lat )
17 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  A
)
18 cdlemh.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
1918, 9atbase 29772 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2017, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  B
)
2118, 10, 11, 12trlcl 30646 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  B
)
224, 5, 21syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  B
)
23 cdlemh.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
2418, 23latjcl 14434 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( R `  G )  e.  B )  -> 
( P  .\/  ( R `  G )
)  e.  B )
2516, 20, 22, 24syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  e.  B )
26 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  e.  A
)
2718, 23, 9hlatjcl 29849 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
283, 26, 14, 27syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
29 cdlemh.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
3029, 23, 9hlatlej2 29858 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
313, 26, 14, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
32 cdlemh.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3318, 29, 23, 32, 9atmod4i1 30348 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A  /\  ( P 
.\/  ( R `  G ) )  e.  B  /\  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B )  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
343, 14, 25, 28, 31, 33syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
3510, 11ltrncnv 30628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
364, 6, 35syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
3723, 10, 11, 12trljco2 31223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( ( R `  G )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( R `  `' F )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
384, 5, 36, 37syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( R `
 G )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `  `' F )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
3910, 11, 12trlcnv 30647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
404, 6, 39syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
4140oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( R `
 `' F ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
4238, 41eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( R `
 G )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
4342oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( ( R `  G )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( P 
.\/  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
4410, 11ltrnco 31201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
454, 5, 36, 44syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
4618, 10, 11, 12trlcl 30646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
474, 45, 46syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
4818, 23latjass 14479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( R `  G
)  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B ) )  ->  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( P  .\/  ( ( R `  G ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
4916, 20, 22, 47, 48syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( P  .\/  ( ( R `  G ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
5018, 10, 11, 12trlcl 30646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
514, 6, 50syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  F )  e.  B
)
5218, 23latjass 14479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( R `  F
)  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B ) )  ->  ( ( P  .\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( P  .\/  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
5316, 20, 51, 47, 52syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( P  .\/  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
5443, 49, 533eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  F )
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5554oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
56 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) )
5718, 9atbase 29772 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
5826, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  e.  B
)
5918, 23latjcl 14434 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( R `  F )  e.  B )  -> 
( P  .\/  ( R `  F )
)  e.  B )
6016, 20, 51, 59syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  F ) )  e.  B )
6118, 29, 23latjlej1 14449 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  ( P  .\/  ( R `  F )
)  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B ) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
)  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
6216, 58, 60, 47, 61syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  ( R `
 F ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 F ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
6356, 62mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 F ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
6418, 23latjcl 14434 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( R `
 F ) )  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  (
( P  .\/  ( R `  F )
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B )
6516, 60, 47, 64syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
6618, 29, 32latleeqm2 14464 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B  /\  (
( P  .\/  ( R `  F )
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 F ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  <-> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
6716, 28, 65, 66syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  <-> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
6863, 67mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 F ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
6934, 55, 683eqtrd 2440 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
702, 69syl5eq 2448 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836    o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640
This theorem is referenced by:  cdlemh  31299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641
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