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Theorem cdlemh 34429
Description: Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemh.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemh.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemh.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemh.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemh.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemh.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemh.s  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemh  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )

Proof of Theorem cdlemh
StepHypRef Expression
1 simp1 1014 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T ) )
2 simp21l 1131 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  A
)
3 simp22l 1133 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  e.  A
)
4 simp23 1049 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) )
5 simp33 1052 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
6 cdlemh.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 cdlemh.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdlemh.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdlemh.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 cdlemh.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 cdlemh.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdlemh.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
13 cdlemh.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
14 cdlemh.s . . . . . 6  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemh1 34427 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 15syl122anc 1285 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
17 oveq1 6322 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  ( 0. `  K )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
18 simp11l 1125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
19 hlol 32972 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  OL )
21 simp11r 1126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  W  e.  H
)
2218, 21jca 539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 simp13 1046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
24 simp12 1045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
2511, 12ltrncnv 33756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
2622, 24, 25syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
2723, 26jca 539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T ) )
285necomd 2691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  F )
)
2911, 12, 13trlcnv 33776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3022, 24, 29syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3128, 30neeqtrrd 2710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F
) )
3210, 11, 12, 13trlcoat 34335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F ) )  -> 
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A
)
3322, 27, 31, 32syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
346, 10atbase 32900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A  -> 
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  B
)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
36 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
376, 8, 36olj02 32837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
3820, 35, 37syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
3917, 38sylan9eqr 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  /\  S  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
4011, 12ltrnco 34331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
4122, 23, 26, 40syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
427, 11, 12, 13trlle 33795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
4322, 41, 42syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
44 simp22r 1134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
45 nbrne2 4435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/= 
Q )
4645necomd 2691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  Q  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
4743, 44, 46syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
48 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
498, 10, 48llni2 33122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )  /\  Q  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  (
LLines `  K ) )
5018, 3, 33, 47, 49syl31anc 1279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  (
LLines `  K ) )
5110, 48llnneat 33124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  e.  ( LLines `  K
) )  ->  -.  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  e.  A )
5218, 50, 51syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  e.  A )
53 nelne2 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  -.  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  A
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5433, 52, 53syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5554adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  /\  S  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5639, 55eqnetrd 2703 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  /\  S  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5756ex 440 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  =  ( 0. `  K
)  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
5857necon2d 2659 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ->  S  =/=  ( 0. `  K
) ) )
5916, 58mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  S  =/=  ( 0. `  K ) )
60 simp32 1051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
616, 10, 11, 12, 13trlnidat 33784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  G )  e.  A
)
6222, 23, 60, 61syl3anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  A
)
637, 8, 10hlatlej2 32986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  G )  e.  A )  -> 
( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  G ) ) )
6418, 2, 62, 63syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )
65 simp22 1048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
66 simp31 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
676, 11, 12ltrncnvnid 33737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
6822, 24, 66, 67syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
696, 11, 12, 13trlcone 34340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  (
( R `  G
)  =/=  ( R `
 `' F )  /\  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
7069necomd 2691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  (
( R `  G
)  =/=  ( R `
 `' F )  /\  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( R `  G
) )
7122, 23, 26, 31, 68, 70syl122anc 1285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( R `  G
) )
727, 11, 12, 13trlle 33795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  .<_  W )
7322, 23, 72syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  .<_  W )
747, 8, 10, 11lhp2atnle 33643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( R `  G
) )  /\  (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W )  /\  ( ( R `
 G )  e.  A  /\  ( R `
 G )  .<_  W ) )  ->  -.  ( R `  G
)  .<_  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
7522, 65, 71, 33, 43, 62, 73, 74syl322anc 1304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  ( R `  G )  .<_  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
76 nbrne1 4434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  G ) )  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G
) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
7764, 75, 76syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  =/=  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
788, 9, 36, 102atmat0 33136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  G )  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  ( P  .\/  ( R `  G )
)  =/=  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  e.  A  \/  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
7918, 2, 62, 3, 33, 77, 78syl33anc 1291 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A  \/  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( 0. `  K
) ) )
8014eleq1i 2531 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  <->  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A )
8114eqeq1i 2467 . . . . . . 7  |-  ( S  =  ( 0. `  K )  <->  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
8280, 81orbi12i 528 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  A  \/  S  =  ( 0. `  K ) )  <->  ( (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  e.  A  \/  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
8379, 82sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  e.  A  \/  S  =  ( 0. `  K
) ) )
8483ord 383 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( -.  S  e.  A  ->  S  =  ( 0. `  K
) ) )
8584necon1ad 2653 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  =/=  ( 0. `  K
)  ->  S  e.  A ) )
8659, 85mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  S  e.  A
)
87 simp21 1047 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
8887, 65jca 539 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
896, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36cdlemh2 34428 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( S  ./\  W )  =  ( 0. `  K
) )
9088, 89syld3an2 1323 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  ./\  W )  =  ( 0.
`  K ) )
917, 9, 36, 10, 11lhpmatb 33641 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  A
)  ->  ( -.  S  .<_  W  <->  ( S  ./\ 
W )  =  ( 0. `  K ) ) )
9218, 21, 86, 91syl21anc 1275 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  W  <->  ( S  ./\  W )  =  ( 0.
`  K ) ) )
9390, 92mpbird 240 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
9486, 93jca 539 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   class class class wbr 4416    _I cid 4763   `'ccnv 4852    |` cres 4855    o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   lecple 15246   joincjn 16238   meetcmee 16239   0.cp0 16332   OLcol 32785   Atomscatm 32874   HLchlt 32961   LLinesclln 33101   LHypclh 33594   LTrncltrn 33711   trLctrl 33769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-riotaBAD 32570
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-undef 7046  df-map 7500  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-llines 33108  df-lplanes 33109  df-lvols 33110  df-lines 33111  df-psubsp 33113  df-pmap 33114  df-padd 33406  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770
This theorem is referenced by:  cdlemi  34432  cdlemki  34453  cdlemksv2  34459  cdlemk16a  34468
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