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Theorem cdlemh 36245
Description: Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemh.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemh.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemh.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemh.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemh.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemh.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemh.s  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemh  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )

Proof of Theorem cdlemh
StepHypRef Expression
1 simp1 995 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T ) )
2 simp21l 1112 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  A
)
3 simp22l 1114 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  e.  A
)
4 simp23 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) )
5 simp33 1033 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
6 cdlemh.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 cdlemh.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdlemh.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdlemh.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 cdlemh.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 cdlemh.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdlemh.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
13 cdlemh.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
14 cdlemh.s . . . . . 6  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemh1 36243 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 15syl122anc 1236 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
17 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  ( 0. `  K )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
18 simp11l 1106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
19 hlol 34788 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  OL )
21 simp11r 1107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  W  e.  H
)
2218, 21jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 simp13 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
24 simp12 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
2511, 12ltrncnv 35572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
2622, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
2723, 26jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T ) )
285necomd 2712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  F )
)
2911, 12, 13trlcnv 35592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3022, 24, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3128, 30neeqtrrd 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F
) )
3210, 11, 12, 13trlcoat 36151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  `' F ) )  -> 
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A
)
3322, 27, 31, 32syl3anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
346, 10atbase 34716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A  -> 
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  B
)
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
36 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
376, 8, 36olj02 34653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
3820, 35, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
3917, 38sylan9eqr 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  /\  S  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
4011, 12ltrnco 36147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
4122, 23, 26, 40syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
427, 11, 12, 13trlle 35611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
4322, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
44 simp22r 1115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
45 nbrne2 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/= 
Q )
4645necomd 2712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W  /\  -.  Q  .<_  W )  ->  Q  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
4743, 44, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
48 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
498, 10, 48llni2 34938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )  /\  Q  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  (
LLines `  K ) )
5018, 3, 33, 47, 49syl31anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  (
LLines `  K ) )
5110, 48llnneat 34940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  e.  ( LLines `  K
) )  ->  -.  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  e.  A )
5218, 50, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  e.  A )
53 nelne2 2771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  -.  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  A
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5433, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5554adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  /\  S  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5639, 55eqnetrd 2734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  /\  S  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5756ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  =  ( 0. `  K
)  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
5857necon2d 2667 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( S 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ->  S  =/=  ( 0. `  K
) ) )
5916, 58mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  S  =/=  ( 0. `  K ) )
60 simp32 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
616, 10, 11, 12, 13trlnidat 35600 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  G )  e.  A
)
6222, 23, 60, 61syl3anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  A
)
637, 8, 10hlatlej2 34802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  G )  e.  A )  -> 
( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  G ) ) )
6418, 2, 62, 63syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )
65 simp22 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
66 simp31 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
676, 11, 12ltrncnvnid 35553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
6822, 24, 66, 67syl3anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) )
696, 11, 12, 13trlcone 36156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  (
( R `  G
)  =/=  ( R `
 `' F )  /\  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
7069necomd 2712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  `' F  e.  T )  /\  (
( R `  G
)  =/=  ( R `
 `' F )  /\  `' F  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( R `  G
) )
7122, 23, 26, 31, 68, 70syl122anc 1236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( R `  G
) )
727, 11, 12, 13trlle 35611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  .<_  W )
7322, 23, 72syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  .<_  W )
747, 8, 10, 11lhp2atnle 35459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =/=  ( R `  G
) )  /\  (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W )  /\  ( ( R `
 G )  e.  A  /\  ( R `
 G )  .<_  W ) )  ->  -.  ( R `  G
)  .<_  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
7522, 65, 71, 33, 43, 62, 73, 74syl322anc 1255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  ( R `  G )  .<_  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
76 nbrne1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  ( R `  G ) )  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G
) )  =/=  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
7764, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  =/=  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
788, 9, 36, 102atmat0 34952 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( R `  G )  e.  A )  /\  ( Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F
) )  e.  A  /\  ( P  .\/  ( R `  G )
)  =/=  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  e.  A  \/  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
7918, 2, 62, 3, 33, 77, 78syl33anc 1242 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A  \/  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( 0. `  K
) ) )
8014eleq1i 2518 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  <->  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A )
8114eqeq1i 2448 . . . . . . 7  |-  ( S  =  ( 0. `  K )  <->  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
8280, 81orbi12i 521 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  A  \/  S  =  ( 0. `  K ) )  <->  ( (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  e.  A  \/  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
8379, 82sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  e.  A  \/  S  =  ( 0. `  K
) ) )
8483ord 377 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( -.  S  e.  A  ->  S  =  ( 0. `  K
) ) )
8584necon1ad 2657 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  =/=  ( 0. `  K
)  ->  S  e.  A ) )
8659, 85mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  S  e.  A
)
87 simp21 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
8887, 65jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
896, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36cdlemh2 36244 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
) )  ->  ( S  ./\  W )  =  ( 0. `  K
) )
9088, 89syld3an2 1274 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  ./\  W )  =  ( 0.
`  K ) )
917, 9, 36, 10, 11lhpmatb 35457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  A
)  ->  ( -.  S  .<_  W  <->  ( S  ./\ 
W )  =  ( 0. `  K ) ) )
9218, 21, 86, 91syl21anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( -.  S  .<_  W  <->  ( S  ./\  W )  =  ( 0.
`  K ) ) )
9390, 92mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
9486, 93jca 532 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   class class class wbr 4433    _I cid 4776   `'ccnv 4984    |` cres 4987    o. ccom 4989   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   lecple 14576   joincjn 15442   meetcmee 15443   0.cp0 15536   OLcol 34601   Atomscatm 34690   HLchlt 34777   LLinesclln 34917   LHypclh 35410   LTrncltrn 35527   trLctrl 35585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-riotaBAD 34386
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 7000  df-map 7420  df-preset 15426  df-poset 15444  df-plt 15457  df-lub 15473  df-glb 15474  df-join 15475  df-meet 15476  df-p0 15538  df-p1 15539  df-lat 15545  df-clat 15607  df-oposet 34603  df-ol 34605  df-oml 34606  df-covers 34693  df-ats 34694  df-atl 34725  df-cvlat 34749  df-hlat 34778  df-llines 34924  df-lplanes 34925  df-lvols 34926  df-lines 34927  df-psubsp 34929  df-pmap 34930  df-padd 35222  df-lhyp 35414  df-laut 35415  df-ldil 35530  df-ltrn 35531  df-trl 35586
This theorem is referenced by:  cdlemi  36248  cdlemki  36269  cdlemksv2  36275  cdlemk16a  36284
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