Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg8c Structured version   Unicode version

Theorem cdlemg8c 34270
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 29-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg8.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg8.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg8c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem cdlemg8c
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp22 1022 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
3 simp21 1021 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4 simp23 1023 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  F  e.  T )
5 simp31 1024 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  G  e.  T )
6 simp32 1025 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
7 simp1l 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  K  e.  HL )
8 cdlemg8.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdlemg8.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 cdlemg8.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 cdlemg8.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
128, 9, 10, 11ltrnel 33780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
131, 5, 3, 12syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( G `  P
)  e.  A  /\  -.  ( G `  P
)  .<_  W ) )
148, 9, 10, 11ltrnel 33780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  ( G `  P ) )  e.  A  /\  -.  ( F `  ( G `  P ) )  .<_  W ) )
1514simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  A
)
161, 4, 13, 15syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
178, 9, 10, 11ltrnel 33780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )
181, 5, 2, 17syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( G `  Q
)  e.  A  /\  -.  ( G `  Q
)  .<_  W ) )
198, 9, 10, 11ltrnel 33780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A  /\  -.  ( F `  ( G `  Q ) )  .<_  W ) )
2019simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  Q
) )  e.  A
)
211, 4, 18, 20syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )
22 cdlemg8.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
2322, 9hlatjcom 33009 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  ( G `
 P ) )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
247, 16, 21, 23syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
25 simp21l 1105 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  P  e.  A )
26 simp22l 1107 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  Q  e.  A )
2722, 9hlatjcom 33009 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
287, 25, 26, 27syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
296, 24, 283eqtr3d 2481 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  Q )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  =  ( Q  .\/  P
) )
30 simp33 1026 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  =/= 
P )
31 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
32 simpl22 1067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
33 simpl21 1066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
34 simpl23 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  ->  F  e.  T )
35 simpl31 1069 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  ->  G  e.  T )
36 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  =  Q )
378, 9, 10, 11cdlemg6 34264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `  ( G `  Q ) )  =  Q ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P )
3831, 32, 33, 34, 35, 36, 37syl123anc 1235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P )
3938ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  Q )
)  =  Q  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P ) )
4039necon3d 2644 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  =/=  P  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  =/=  Q ) )
4130, 40mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  =/= 
Q )
42 cdlemg8.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
438, 22, 42, 9, 10, 11cdlemg8b 34269 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  Q )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  =  ( Q  .\/  P
)  /\  ( F `  ( G `  Q
) )  =/=  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( Q  .\/  P ) )
441, 2, 3, 4, 5, 29, 41, 43syl133anc 1241 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( Q  .\/  P ) )
4544, 28eqtr4d 2476 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   lecple 14243   joincjn 15112   meetcmee 15113   Atomscatm 32905   HLchlt 32992   LHypclh 33625   LTrncltrn 33742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-riotaBAD 32601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-undef 6790  df-map 7214  df-poset 15114  df-plt 15126  df-lub 15142  df-glb 15143  df-join 15144  df-meet 15145  df-p0 15207  df-p1 15208  df-lat 15214  df-clat 15276  df-oposet 32818  df-ol 32820  df-oml 32821  df-covers 32908  df-ats 32909  df-atl 32940  df-cvlat 32964  df-hlat 32993  df-llines 33139  df-lplanes 33140  df-lvols 33141  df-lines 33142  df-psubsp 33144  df-pmap 33145  df-padd 33437  df-lhyp 33629  df-laut 33630  df-ldil 33745  df-ltrn 33746  df-trl 33800
This theorem is referenced by:  cdlemg8d  34271
  Copyright terms: Public domain W3C validator