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Theorem cdlemg8c 33648
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 29-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg8.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg8.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg8c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem cdlemg8c
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp22 1031 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
3 simp21 1030 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4 simp23 1032 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  F  e.  T )
5 simp31 1033 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  G  e.  T )
6 simp32 1034 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
7 simp1l 1021 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  K  e.  HL )
8 cdlemg8.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdlemg8.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 cdlemg8.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 cdlemg8.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
128, 9, 10, 11ltrnel 33156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
131, 5, 3, 12syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( G `  P
)  e.  A  /\  -.  ( G `  P
)  .<_  W ) )
148, 9, 10, 11ltrnel 33156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  ( G `  P ) )  e.  A  /\  -.  ( F `  ( G `  P ) )  .<_  W ) )
1514simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  A
)
161, 4, 13, 15syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
178, 9, 10, 11ltrnel 33156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )
181, 5, 2, 17syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( G `  Q
)  e.  A  /\  -.  ( G `  Q
)  .<_  W ) )
198, 9, 10, 11ltrnel 33156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A  /\  -.  ( F `  ( G `  Q ) )  .<_  W ) )
2019simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  Q
) )  e.  A
)
211, 4, 18, 20syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )
22 cdlemg8.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
2322, 9hlatjcom 32385 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  ( G `
 P ) )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
247, 16, 21, 23syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
25 simp21l 1114 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  P  e.  A )
26 simp22l 1116 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  Q  e.  A )
2722, 9hlatjcom 32385 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
287, 25, 26, 27syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
296, 24, 283eqtr3d 2451 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  Q )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  =  ( Q  .\/  P
) )
30 simp33 1035 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  =/= 
P )
31 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
32 simpl22 1076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
33 simpl21 1075 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
34 simpl23 1077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  ->  F  e.  T )
35 simpl31 1078 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  ->  G  e.  T )
36 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  =  Q )
378, 9, 10, 11cdlemg6 33642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `  ( G `  Q ) )  =  Q ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P )
3831, 32, 33, 34, 35, 36, 37syl123anc 1247 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P )
3938ex 432 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  Q )
)  =  Q  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P ) )
4039necon3d 2627 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  =/=  P  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  =/=  Q ) )
4130, 40mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  =/= 
Q )
42 cdlemg8.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
438, 22, 42, 9, 10, 11cdlemg8b 33647 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  Q )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  =  ( Q  .\/  P
)  /\  ( F `  ( G `  Q
) )  =/=  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( Q  .\/  P ) )
441, 2, 3, 4, 5, 29, 41, 43syl133anc 1253 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( Q  .\/  P ) )
4544, 28eqtr4d 2446 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   lecple 14916   joincjn 15897   meetcmee 15898   Atomscatm 32281   HLchlt 32368   LHypclh 33001   LTrncltrn 33118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-riotaBAD 31977
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-undef 7005  df-map 7459  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-llines 32515  df-lplanes 32516  df-lvols 32517  df-lines 32518  df-psubsp 32520  df-pmap 32521  df-padd 32813  df-lhyp 33005  df-laut 33006  df-ldil 33121  df-ltrn 33122  df-trl 33177
This theorem is referenced by:  cdlemg8d  33649
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