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Theorem cdlemg8c 35300
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 29-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg8.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg8.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg8c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem cdlemg8c
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp22 1025 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
3 simp21 1024 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4 simp23 1026 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  F  e.  T )
5 simp31 1027 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  G  e.  T )
6 simp32 1028 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
7 simp1l 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  K  e.  HL )
8 cdlemg8.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdlemg8.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 cdlemg8.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 cdlemg8.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
128, 9, 10, 11ltrnel 34810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
131, 5, 3, 12syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( G `  P
)  e.  A  /\  -.  ( G `  P
)  .<_  W ) )
148, 9, 10, 11ltrnel 34810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  ( G `  P ) )  e.  A  /\  -.  ( F `  ( G `  P ) )  .<_  W ) )
1514simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  A
)
161, 4, 13, 15syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
178, 9, 10, 11ltrnel 34810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )
181, 5, 2, 17syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( G `  Q
)  e.  A  /\  -.  ( G `  Q
)  .<_  W ) )
198, 9, 10, 11ltrnel 34810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A  /\  -.  ( F `  ( G `  Q ) )  .<_  W ) )
2019simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  Q
) )  e.  A
)
211, 4, 18, 20syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )
22 cdlemg8.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
2322, 9hlatjcom 34039 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  ( G `
 P ) )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
247, 16, 21, 23syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
25 simp21l 1108 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  P  e.  A )
26 simp22l 1110 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  Q  e.  A )
2722, 9hlatjcom 34039 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  =  ( Q 
.\/  P ) )
287, 25, 26, 27syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  P
) )
296, 24, 283eqtr3d 2509 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  Q )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  =  ( Q  .\/  P
) )
30 simp33 1029 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  =/= 
P )
31 simpl1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
32 simpl22 1070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
33 simpl21 1069 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
34 simpl23 1071 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  ->  F  e.  T )
35 simpl31 1072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  ->  G  e.  T )
36 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  =  Q )
378, 9, 10, 11cdlemg6 35294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( F `  ( G `  Q ) )  =  Q ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P )
3831, 32, 33, 34, 35, 36, 37syl123anc 1240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =/= 
P ) )  /\  ( F `  ( G `
 Q ) )  =  Q )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P )
3938ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  Q )
)  =  Q  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P ) )
4039necon3d 2684 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  =/=  P  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  =/=  Q ) )
4130, 40mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  =/= 
Q )
42 cdlemg8.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
438, 22, 42, 9, 10, 11cdlemg8b 35299 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  Q )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  =  ( Q  .\/  P
)  /\  ( F `  ( G `  Q
) )  =/=  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( Q  .\/  P ) )
441, 2, 3, 4, 5, 29, 41, 43syl133anc 1246 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( Q  .\/  P ) )
4544, 28eqtr4d 2504 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   lecple 14551   joincjn 15420   meetcmee 15421   Atomscatm 33935   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LTrncltrn 34772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-undef 6992  df-map 7412  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830
This theorem is referenced by:  cdlemg8d  35301
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