Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg8b Structured version   Unicode version

Theorem cdlemg8b 34611
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 29-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg8.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg8.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg8b  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem cdlemg8b
StepHypRef Expression
1 simp1l 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 33347 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp21l 1105 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  P  e.  A )
5 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 cdlemg8.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 33273 . . . . 5  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
9 simp22l 1107 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  Q  e.  A )
105, 6atbase 33273 . . . . 5  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
12 cdlemg8.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 cdlemg8.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
145, 12, 13latlej1 15350 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
153, 8, 11, 14syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
16 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 simp23 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  F  e.  T )
18 simp31 1024 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  G  e.  T )
19 simp21 1021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 cdlemg8.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
21 cdlemg8.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
2212, 6, 20, 21ltrnel 34122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
2316, 18, 19, 22syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( G `  P
)  e.  A  /\  -.  ( G `  P
)  .<_  W ) )
2412, 6, 20, 21ltrnel 34122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  ( G `  P ) )  e.  A  /\  -.  ( F `  ( G `  P ) )  .<_  W ) )
2524simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  A
)
2616, 17, 23, 25syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
275, 6atbase 33273 . . . . . 6  |-  ( ( F `  ( G `
 P ) )  e.  A  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
2826, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
295, 20, 21ltrncl 34108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( G `  Q )  e.  (
Base `  K )
)
3016, 18, 11, 29syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
315, 20, 21ltrncl 34108 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  Q
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  e.  ( Base `  K ) )
3216, 17, 30, 31syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  ( Base `  K
) )
335, 12, 13latlej1 15350 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  Q
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( F `  ( G `  P
) )  .<_  ( ( F `  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  Q ) ) ) )
343, 28, 32, 33syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  .<_  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) ) )
35 simp32 1025 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
3634, 35breqtrd 4425 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )
375, 13, 6hlatjcl 33350 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
381, 4, 9, 37syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
395, 12, 13latjle12 15352 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  ( F `  ( G `
 P ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) )  <->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
403, 8, 28, 38, 39syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  ( F `  ( G `
 P ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) )  <->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
4115, 36, 40mpbi2and 912 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
42 simp33 1026 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  =/= 
P )
4342necomd 2723 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  P  =/=  ( F `  ( G `  P )
) )
4412, 13, 6ps-1 33460 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P )
)  e.  A  /\  P  =/=  ( F `  ( G `  P ) ) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
451, 4, 26, 43, 4, 9, 44syl132anc 1237 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  (
( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
)  <->  ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  =  ( P 
.\/  Q ) ) )
4641, 45mpbid 210 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( P  .\/  Q
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =/=  P
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   lecple 14365   joincjn 15234   meetcmee 15235   Latclat 15335   Atomscatm 33247   HLchlt 33334   LHypclh 33967   LTrncltrn 34084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-map 7327  df-poset 15236  df-plt 15248  df-lub 15264  df-glb 15265  df-join 15266  df-meet 15267  df-p0 15329  df-lat 15336  df-oposet 33160  df-ol 33162  df-oml 33163  df-covers 33250  df-ats 33251  df-atl 33282  df-cvlat 33306  df-hlat 33335  df-lhyp 33971  df-laut 33972  df-ldil 34087  df-ltrn 34088
This theorem is referenced by:  cdlemg8c  34612  cdlemg8d  34613
  Copyright terms: Public domain W3C validator