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Theorem cdlemg6c 31102
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 27-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg4.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemg4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg4b.v  |-  V  =  ( R `  G
)
Assertion
Ref Expression
cdlemg6c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  ( (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) )  ->  ( F `  ( G `  Q
) )  =  Q ) )
Distinct variable groups:    A, r    F, r    G, r    H, r    .\/ , r    K, r    .<_ , r    P, r    Q, r    T, r    V, r    W, r
Allowed substitution hint:    R( r)

Proof of Theorem cdlemg6c
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simprl 733 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W ) )
3 simpl22 1036 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simpl23 1037 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  F  e.  T )
5 simpl31 1038 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  G  e.  T )
6 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( P 
.\/  V ) )
7 simpl1l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  K  e.  HL )
8 simp22l 1076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  Q  e.  A )
98adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  Q  e.  A )
10 simprll 739 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
r  e.  A )
11 cdlemg4b.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( R `  G
)
12 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
13 cdlemg4.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
14 cdlemg4.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
15 cdlemg4.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1612, 13, 14, 15trlcl 30646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
171, 5, 16syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Base `  K ) )
1811, 17syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  V  e.  ( Base `  K ) )
19 simp22r 1077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
2019adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  Q  .<_  W )
21 cdlemg4.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
2221, 13, 14, 15trlle 30666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  .<_  W )
231, 5, 22syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( R `  G
)  .<_  W )
2411, 23syl5eqbr 4205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  V  .<_  W )
25 simp1l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  K  e.  HL )
26 hllat 29846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  K  e.  Lat )
2827adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  K  e.  Lat )
29 cdlemg4.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3012, 29atbase 29772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
318, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
3231adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K ) )
33 simp1r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  W  e.  H )
3412, 13lhpbase 30480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3635adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
3712, 21lattr 14440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .<_  V  /\  V  .<_  W )  ->  Q  .<_  W ) )
3828, 32, 18, 36, 37syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( ( Q  .<_  V  /\  V  .<_  W )  ->  Q  .<_  W ) )
3924, 38mpan2d 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .<_  V  ->  Q  .<_  W ) )
4020, 39mtod 170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  Q  .<_  V )
41 cdlemg4.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
4212, 21, 41, 29hlexch2 29865 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  r  e.  A  /\  V  e.  ( Base `  K ) )  /\  -.  Q  .<_  V )  ->  ( Q  .<_  ( r  .\/  V
)  ->  r  .<_  ( Q  .\/  V ) ) )
437, 9, 10, 18, 40, 42syl131anc 1197 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .<_  ( r 
.\/  V )  -> 
r  .<_  ( Q  .\/  V ) ) )
44 simpl32 1039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V ) )
45 simp21l 1074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  P  e.  A )
4645adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  P  e.  A )
4712, 29atbase 29772 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
4912, 21, 41latlej2 14445 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
5028, 48, 18, 49syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V ) )
5112, 41latjcl 14434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
5228, 48, 18, 51syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
5312, 21, 41latjle12 14446 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( Q  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5428, 32, 18, 52, 53syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( Q  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5544, 50, 54mpbi2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5612, 29atbase 29772 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
5710, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  K ) )
5812, 41latjcl 14434 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
5928, 32, 18, 58syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
6012, 21lattr 14440 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  (
Base `  K )  /\  ( Q  .\/  V
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( r  .<_  ( Q  .\/  V )  /\  ( Q  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V ) )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
6128, 57, 59, 52, 60syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( ( r  .<_  ( Q  .\/  V )  /\  ( Q  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V ) )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
6255, 61mpan2d 656 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( r  .<_  ( Q 
.\/  V )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
6343, 62syld 42 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( Q  .<_  ( r 
.\/  V )  -> 
r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
646, 63mtod 170 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( r 
.\/  V ) )
65 simpl21 1035 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
66 simpl33 1040 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  =  P )
6721, 29, 13, 14, 15, 41, 11cdlemg6a 31100 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  =  P ) )  ->  ( F `  ( G `  r ) )  =  r )
681, 65, 2, 4, 5, 6, 66, 67syl133anc 1207 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( F `  ( G `  r )
)  =  r )
6921, 29, 13, 14, 15, 41, 11cdlemg6b 31101 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  -.  Q  .<_  ( r  .\/  V
)  /\  ( F `  ( G `  r
) )  =  r ) )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  =  Q )
701, 2, 3, 4, 5, 64, 68, 69syl133anc 1207 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T )  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `
 ( G `  P ) )  =  P ) )  /\  ( ( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) ) )  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  =  Q )
7170ex 424 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  =  P ) )  ->  ( (
( r  e.  A  /\  -.  r  .<_  W )  /\  -.  r  .<_  ( P  .\/  V ) )  ->  ( F `  ( G `  Q
) )  =  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640
This theorem is referenced by:  cdlemg6d  31103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641
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