Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg4c Structured version   Unicode version

Theorem cdlemg4c 34614
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 24-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg4.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemg4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg4b.v  |-  V  =  ( R `  G
)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4c  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
)  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )  ->  -.  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )

Proof of Theorem cdlemg4c
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simplr2 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
3 simplr3 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  G  e.  T )
4 cdlemg4.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemg4.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdlemg4.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 cdlemg4.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
8 cdlemg4.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
9 cdlemg4.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdlemg4b.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( R `  G
)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemg4b2 34612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  =  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) )
121, 2, 3, 11syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  =  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) )
13 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( G `  Q )  .<_  ( P  .\/  V
) )
14 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  K  e.  HL )
15 hllat 33366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  K  e.  Lat )
17 simpr1l 1045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  P  e.  A )
18 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1918, 5atbase 33292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
22 simpr3 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  G  e.  T )
2318, 6, 7, 8trlcl 34166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( R `  G )  e.  ( Base `  K
) )
2510, 24syl5eqel 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
2618, 4, 9latlej2 15353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
2716, 20, 25, 26syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
2827adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  V  .<_  ( P  .\/  V
) )
29 simpr2l 1047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  Q  e.  A )
3018, 5atbase 33292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3218, 6, 7ltrncl 34127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  Q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( G `  Q )  e.  (
Base `  K )
)
3321, 22, 31, 32syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
3418, 9latjcl 15343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3516, 20, 25, 34syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
3618, 4, 9latjle12 15354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  Q )  e.  (
Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( G `
 Q )  .<_  ( P  .\/  V )  /\  V  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( ( G `  Q )  .\/  V
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
3716, 33, 25, 35, 36syl13anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( ( G `  Q )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  V  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( ( G `  Q )  .\/  V )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( ( G `  Q )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  V  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( ( G `  Q )  .\/  V )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
3913, 28, 38mpbi2and 912 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  V )  .<_  ( P  .\/  V
) )
4012, 39eqbrtrrd 4425 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  .\/  ( G `  Q ) )  .<_  ( P  .\/  V ) )
4116adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  K  e.  Lat )
4231adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4333adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
4420adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
451, 3, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( R `  G )  e.  ( Base `  K
) )
4610, 45syl5eqel 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
4741, 44, 46, 34syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
4818, 4, 9latjle12 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  V )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( Q  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  <->  ( Q  .\/  ( G `  Q
) )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
4941, 42, 43, 47, 48syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  (
( Q  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  <->  ( Q  .\/  ( G `  Q
) )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
5040, 49mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  V )  /\  ( G `
 Q )  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5150simpld 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T ) )  /\  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )
5251ex 434 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( G `  Q
)  .<_  ( P  .\/  V )  ->  Q  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5352con3d 133 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
) )  ->  ( -.  Q  .<_  ( P 
.\/  V )  ->  -.  ( G `  Q
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
54533impia 1185 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  G  e.  T
)  /\  -.  Q  .<_  ( P  .\/  V
) )  ->  -.  ( G `  Q ) 
.<_  ( P  .\/  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   lecple 14367   joincjn 15236   Latclat 15337   Atomscatm 33266   HLchlt 33353   LHypclh 33986   LTrncltrn 34103   trLctrl 34160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-map 7329  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-psubsp 33505  df-pmap 33506  df-padd 33798  df-lhyp 33990  df-laut 33991  df-ldil 34106  df-ltrn 34107  df-trl 34161
This theorem is referenced by:  cdlemg4d  34615
  Copyright terms: Public domain W3C validator