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Theorem cdlemg47 34380
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemg46.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg46.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg46.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg47  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, H    h, K    R, h    T, h    h, W
Allowed substitution hints:    B( h)    G( h)

Proof of Theorem cdlemg47
StepHypRef Expression
1 simp11 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2l 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  h  e.  T )
3 simp12 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  F  e.  T )
4 cdlemg46.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 cdlemg46.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrnco 34363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
71, 2, 3, 6syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  F )  e.  T )
8 simp13 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  G  e.  T )
9 simp3 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )
10 cdlemg46.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 cdlemg46.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1210, 4, 5, 11cdlemg46 34379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
131, 3, 2, 9, 12syl121anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
14 simp2r 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
1513, 14neeqtrd 2630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  G
) )
164, 5, 11cdlemg44 34377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( h  o.  F )  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  G
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( G  o.  ( h  o.  F
) ) )
171, 7, 8, 15, 16syl121anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( G  o.  ( h  o.  F
) ) )
18 coass 5356 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  h )  o.  F )  =  ( G  o.  (
h  o.  F ) )
1917, 18syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( ( G  o.  h )  o.  F ) )
20 simp33 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  F
) )
2120, 14neeqtrd 2630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  G
) )
224, 5, 11cdlemg44 34377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  G
) )  ->  (
h  o.  G )  =  ( G  o.  h ) )
231, 2, 8, 21, 22syl121anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  G )  =  ( G  o.  h ) )
2423coeq1d 5001 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  G
)  o.  F )  =  ( ( G  o.  h )  o.  F ) )
2519, 24eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( ( h  o.  G )  o.  F ) )
26 coass 5356 . . . 4  |-  ( ( h  o.  F )  o.  G )  =  ( h  o.  ( F  o.  G )
)
27 coass 5356 . . . 4  |-  ( ( h  o.  G )  o.  F )  =  ( h  o.  ( G  o.  F )
)
2825, 26, 273eqtr3g 2498 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( h  o.  ( G  o.  F
) ) )
2928coeq2d 5002 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( G  o.  F ) ) ) )
30 coass 5356 . . . 4  |-  ( ( `' h  o.  h
)  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( F  o.  G )
) )
3110, 4, 5ltrn1o 33768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T
)  ->  h : B
-1-1-onto-> B )
321, 2, 31syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  h : B -1-1-onto-> B )
33 f1ococnv1 5669 . . . . . 6  |-  ( h : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' h  o.  h )  =  (  _I  |`  B ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  h
)  =  (  _I  |`  B ) )
3534coeq1d 5001 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( `' h  o.  h )  o.  ( F  o.  G )
)  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G
) ) )
3630, 35syl5eqr 2489 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G
) ) )
374, 5ltrnco 34363 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
381, 3, 8, 37syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T )
3910, 4, 5ltrn1o 33768 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B
)
401, 38, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B )
41 f1of 5641 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  G ) : B --> B )
42 fcoi2 5586 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( F  o.  G
) )
4340, 41, 423syl 20 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( F  o.  G
) )
4436, 43eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( F  o.  G ) )
45 coass 5356 . . . 4  |-  ( ( `' h  o.  h
)  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( G  o.  F )
) )
4634coeq1d 5001 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( `' h  o.  h )  o.  ( G  o.  F )
)  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F
) ) )
4745, 46syl5eqr 2489 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( G  o.  F ) ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F
) ) )
484, 5ltrnco 34363 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
491, 8, 3, 48syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( G  o.  F )  e.  T )
5010, 4, 5ltrn1o 33768 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  F )  e.  T
)  ->  ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B
)
511, 49, 50syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B )
52 f1of 5641 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( G  o.  F ) : B --> B )
53 fcoi2 5586 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( G  o.  F
) )
5451, 52, 533syl 20 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( G  o.  F
) )
5547, 54eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( G  o.  F ) ) )  =  ( G  o.  F ) )
5629, 44, 553eqtr3d 2483 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    _I cid 4631   `'ccnv 4839    |` cres 4842    o. ccom 4844   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   Basecbs 14174   HLchlt 32995   LHypclh 33628   LTrncltrn 33745   trLctrl 33802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-undef 6792  df-map 7216  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803
This theorem is referenced by:  cdlemg48  34381
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