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Theorem cdlemg47 31218
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemg46.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg46.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg46.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg47  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, H    h, K    R, h    T, h    h, W
Allowed substitution hints:    B( h)    G( h)

Proof of Theorem cdlemg47
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2l 983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  h  e.  T )
3 simp12 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  F  e.  T )
4 cdlemg46.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 cdlemg46.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrnco 31201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
71, 2, 3, 6syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  F )  e.  T )
8 simp13 989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  G  e.  T )
9 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )
10 cdlemg46.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 cdlemg46.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1210, 4, 5, 11cdlemg46 31217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
131, 3, 2, 9, 12syl121anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
14 simp2r 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
1513, 14neeqtrd 2589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  G
) )
164, 5, 11cdlemg44 31215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( h  o.  F )  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  G
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( G  o.  ( h  o.  F
) ) )
171, 7, 8, 15, 16syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( G  o.  ( h  o.  F
) ) )
18 coass 5347 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  h )  o.  F )  =  ( G  o.  (
h  o.  F ) )
1917, 18syl6eqr 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( ( G  o.  h )  o.  F ) )
20 simp33 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  F
) )
2120, 14neeqtrd 2589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  G
) )
224, 5, 11cdlemg44 31215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  G
) )  ->  (
h  o.  G )  =  ( G  o.  h ) )
231, 2, 8, 21, 22syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  G )  =  ( G  o.  h ) )
2423coeq1d 4993 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  G
)  o.  F )  =  ( ( G  o.  h )  o.  F ) )
2519, 24eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( ( h  o.  G )  o.  F ) )
26 coass 5347 . . . 4  |-  ( ( h  o.  F )  o.  G )  =  ( h  o.  ( F  o.  G )
)
27 coass 5347 . . . 4  |-  ( ( h  o.  G )  o.  F )  =  ( h  o.  ( G  o.  F )
)
2825, 26, 273eqtr3g 2459 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( h  o.  ( G  o.  F
) ) )
2928coeq2d 4994 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( G  o.  F ) ) ) )
30 coass 5347 . . . 4  |-  ( ( `' h  o.  h
)  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( F  o.  G )
) )
3110, 4, 5ltrn1o 30606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T
)  ->  h : B
-1-1-onto-> B )
321, 2, 31syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  h : B -1-1-onto-> B )
33 f1ococnv1 5663 . . . . . 6  |-  ( h : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' h  o.  h )  =  (  _I  |`  B ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  h
)  =  (  _I  |`  B ) )
3534coeq1d 4993 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( `' h  o.  h )  o.  ( F  o.  G )
)  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G
) ) )
3630, 35syl5eqr 2450 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G
) ) )
374, 5ltrnco 31201 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
381, 3, 8, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T )
3910, 4, 5ltrn1o 30606 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B
)
401, 38, 39syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B )
41 f1of 5633 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  G ) : B --> B )
42 fcoi2 5577 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( F  o.  G
) )
4340, 41, 423syl 19 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( F  o.  G
) )
4436, 43eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( F  o.  G ) )
45 coass 5347 . . . 4  |-  ( ( `' h  o.  h
)  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( G  o.  F )
) )
4634coeq1d 4993 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( `' h  o.  h )  o.  ( G  o.  F )
)  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F
) ) )
4745, 46syl5eqr 2450 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( G  o.  F ) ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F
) ) )
484, 5ltrnco 31201 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
491, 8, 3, 48syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( G  o.  F )  e.  T )
5010, 4, 5ltrn1o 30606 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  F )  e.  T
)  ->  ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B
)
511, 49, 50syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B )
52 f1of 5633 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( G  o.  F ) : B --> B )
53 fcoi2 5577 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( G  o.  F
) )
5451, 52, 533syl 19 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( G  o.  F
) )
5547, 54eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( G  o.  F ) ) )  =  ( G  o.  F ) )
5629, 44, 553eqtr3d 2444 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    _I cid 4453   `'ccnv 4836    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   Basecbs 13424   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640
This theorem is referenced by:  cdlemg48  31219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641
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