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Theorem cdlemg47 35933
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemg46.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg46.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg46.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg47  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, H    h, K    R, h    T, h    h, W
Allowed substitution hints:    B( h)    G( h)

Proof of Theorem cdlemg47
StepHypRef Expression
1 simp11 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2l 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  h  e.  T )
3 simp12 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  F  e.  T )
4 cdlemg46.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 cdlemg46.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrnco 35916 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
71, 2, 3, 6syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  F )  e.  T )
8 simp13 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  G  e.  T )
9 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )
10 cdlemg46.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 cdlemg46.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1210, 4, 5, 11cdlemg46 35932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
131, 3, 2, 9, 12syl121anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
14 simp2r 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
1513, 14neeqtrd 2762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  G
) )
164, 5, 11cdlemg44 35930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( h  o.  F )  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  G
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( G  o.  ( h  o.  F
) ) )
171, 7, 8, 15, 16syl121anc 1233 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( G  o.  ( h  o.  F
) ) )
18 coass 5532 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  h )  o.  F )  =  ( G  o.  (
h  o.  F ) )
1917, 18syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( ( G  o.  h )  o.  F ) )
20 simp33 1034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  F
) )
2120, 14neeqtrd 2762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  G
) )
224, 5, 11cdlemg44 35930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  G
) )  ->  (
h  o.  G )  =  ( G  o.  h ) )
231, 2, 8, 21, 22syl121anc 1233 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  G )  =  ( G  o.  h ) )
2423coeq1d 5170 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  G
)  o.  F )  =  ( ( G  o.  h )  o.  F ) )
2519, 24eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( h  o.  F
)  o.  G )  =  ( ( h  o.  G )  o.  F ) )
26 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( h  o.  F )  o.  G )  =  ( h  o.  ( F  o.  G )
)
27 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( h  o.  G )  o.  F )  =  ( h  o.  ( G  o.  F )
)
2825, 26, 273eqtr3g 2531 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
h  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( h  o.  ( G  o.  F
) ) )
2928coeq2d 5171 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( G  o.  F ) ) ) )
30 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( `' h  o.  h
)  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( F  o.  G )
) )
3110, 4, 5ltrn1o 35321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T
)  ->  h : B
-1-1-onto-> B )
321, 2, 31syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  h : B -1-1-onto-> B )
33 f1ococnv1 5850 . . . . . 6  |-  ( h : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' h  o.  h )  =  (  _I  |`  B ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  h
)  =  (  _I  |`  B ) )
3534coeq1d 5170 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( `' h  o.  h )  o.  ( F  o.  G )
)  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G
) ) )
3630, 35syl5eqr 2522 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G
) ) )
374, 5ltrnco 35916 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
381, 3, 8, 37syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T )
3910, 4, 5ltrn1o 35321 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B
)
401, 38, 39syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B )
41 f1of 5822 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  G ) : B --> B )
42 fcoi2 5766 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( F  o.  G
) )
4340, 41, 423syl 20 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  ( F  o.  G ) )  =  ( F  o.  G
) )
4436, 43eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( F  o.  G ) ) )  =  ( F  o.  G ) )
45 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( `' h  o.  h
)  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( `' h  o.  ( h  o.  ( G  o.  F )
) )
4634coeq1d 5170 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
( `' h  o.  h )  o.  ( G  o.  F )
)  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F
) ) )
4745, 46syl5eqr 2522 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( G  o.  F ) ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F
) ) )
484, 5ltrnco 35916 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
491, 8, 3, 48syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( G  o.  F )  e.  T )
5010, 4, 5ltrn1o 35321 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  F )  e.  T
)  ->  ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B
)
511, 49, 50syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B )
52 f1of 5822 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( G  o.  F ) : B --> B )
53 fcoi2 5766 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( G  o.  F
) )
5451, 52, 533syl 20 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  ( G  o.  F ) )  =  ( G  o.  F
) )
5547, 54eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( `' h  o.  (
h  o.  ( G  o.  F ) ) )  =  ( G  o.  F ) )
5629, 44, 553eqtr3d 2516 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
h  e.  T  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    _I cid 4796   `'ccnv 5004    |` cres 5007    o. ccom 5009   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   Basecbs 14507   HLchlt 34548   LHypclh 35181   LTrncltrn 35298   trLctrl 35355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-undef 7014  df-map 7434  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-llines 34695  df-lplanes 34696  df-lvols 34697  df-lines 34698  df-psubsp 34700  df-pmap 34701  df-padd 34993  df-lhyp 35185  df-laut 35186  df-ldil 35301  df-ltrn 35302  df-trl 35356
This theorem is referenced by:  cdlemg48  35934
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