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Theorem cdlemg46 34685
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemg46.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg46.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg46.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg46  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
Distinct variable groups:    h, F    h, H    h, K    R, h    T, h    h, W
Allowed substitution hint:    B( h)

Proof of Theorem cdlemg46
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1039 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
2 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2r 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  h  e.  T
)
4 simp32 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  h  =/=  (  _I  |`  B ) )
5 cdlemg46.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
7 cdlemg46.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemg46.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 cdlemg46.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 34123 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K ) )
112, 3, 4, 10syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K ) )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K ) )
13 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  F  e.  T
)
14 simp31 1024 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
155, 6, 7, 8, 9trlnidat 34123 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
162, 13, 14, 15syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
1716adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
18 simpl33 1071 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
)
19 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  e.  (
Atoms `  K ) )
207, 8ltrnco 34669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
212, 3, 13, 20syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
227, 8ltrncnv 34096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
232, 13, 22syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  `' F  e.  T )
24 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
25 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
2624, 25, 7, 8, 9trlco 34677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  o.  F )  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( R `  ( ( h  o.  F )  o.  `' F ) ) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 `' F ) ) )
272, 21, 23, 26syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( ( h  o.  F )  o.  `' F ) ) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 `' F ) ) )
28 coass 5454 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  o.  F )  o.  `' F )  =  ( h  o.  ( F  o.  `' F ) )
295, 7, 8ltrn1o 34074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
302, 13, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  F : B -1-1-onto-> B
)
31 f1ococnv2 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
3332coeq2d 5100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  ( F  o.  `' F ) )  =  ( h  o.  (  _I  |`  B ) ) )
345, 7, 8ltrn1o 34074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T
)  ->  h : B
-1-1-onto-> B )
352, 3, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  h : B -1-1-onto-> B
)
36 f1of 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : B -1-1-onto-> B  ->  h : B
--> B )
37 fcoi1 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : B --> B  -> 
( h  o.  (  _I  |`  B ) )  =  h )
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  (  _I  |`  B ) )  =  h )
3933, 38eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  ( F  o.  `' F ) )  =  h )
4028, 39syl5eq 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( ( h  o.  F )  o.  `' F )  =  h )
4140fveq2d 5793 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( ( h  o.  F )  o.  `' F ) )  =  ( R `  h
) )
427, 8, 9trlcnv 34115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
432, 13, 42syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
4443oveq2d 6206 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  `' F ) )  =  ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 F ) ) )
4527, 41, 443brtr3d 4419 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  h ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
4645adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
4724, 25, 6hlatlej2 33326 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
481, 19, 17, 47syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
49 hllat 33314 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
501, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  Lat )
515, 6atbase 33240 . . . . . 6  |-  ( ( R `  h )  e.  ( Atoms `  K
)  ->  ( R `  h )  e.  B
)
5212, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h )  e.  B
)
535, 6atbase 33240 . . . . . 6  |-  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
5417, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
555, 25, 6hlatjcl 33317 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )  ->  ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) )  e.  B
)
561, 19, 17, 55syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) )  e.  B
)
575, 24, 25latjle12 15334 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  h )  e.  B  /\  ( R `  F
)  e.  B  /\  ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 F ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( R `  h ) ( le `  K
) ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) )  /\  ( R `  F )
( le `  K
) ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) ) )  <->  ( ( R `  h )
( join `  K )
( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) ) )
5850, 52, 54, 56, 57syl13anc 1221 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( R `  h
) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) )  /\  ( R `  F ) ( le `  K
) ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) ) )  <->  ( ( R `  h )
( join `  K )
( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) ) )
5946, 48, 58mpbi2and 912 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  h )
( join `  K )
( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
6024, 25, 62atjlej 33429 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
)  /\  ( ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  (
( R `  h
) ( join `  K
) ( R `  F ) ) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 F ) ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
611, 12, 17, 18, 19, 17, 59, 60syl133anc 1242 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
62 nelne2 2778 . . . 4  |-  ( ( ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  (
h  o.  F ) ) )
6362necomd 2719 . . 3  |-  ( ( ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
6416, 63sylan 471 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  -.  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
6561, 64pm2.61dan 789 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4390    _I cid 4729   `'ccnv 4937    |` cres 4940    o. ccom 4942   -->wf 5512   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   lecple 14347   joincjn 15216   Latclat 15317   Atomscatm 33214   HLchlt 33301   LHypclh 33934   LTrncltrn 34051   trLctrl 34108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-riotaBAD 32910
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-undef 6892  df-map 7316  df-poset 15218  df-plt 15230  df-lub 15246  df-glb 15247  df-join 15248  df-meet 15249  df-p0 15311  df-p1 15312  df-lat 15318  df-clat 15380  df-oposet 33127  df-ol 33129  df-oml 33130  df-covers 33217  df-ats 33218  df-atl 33249  df-cvlat 33273  df-hlat 33302  df-llines 33448  df-lplanes 33449  df-lvols 33450  df-lines 33451  df-psubsp 33453  df-pmap 33454  df-padd 33746  df-lhyp 33938  df-laut 33939  df-ldil 34054  df-ltrn 34055  df-trl 34109
This theorem is referenced by:  cdlemg47  34686
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