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Theorem cdlemg46 34271
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemg46.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg46.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg46.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg46  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
Distinct variable groups:    h, F    h, H    h, K    R, h    T, h    h, W
Allowed substitution hint:    B( h)

Proof of Theorem cdlemg46
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1056 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
2 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2r 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  h  e.  T
)
4 simp32 1042 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  h  =/=  (  _I  |`  B ) )
5 cdlemg46.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
7 cdlemg46.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemg46.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 cdlemg46.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 33708 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K ) )
112, 3, 4, 10syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K ) )
1211adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K ) )
13 simp2l 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  F  e.  T
)
14 simp31 1041 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
155, 6, 7, 8, 9trlnidat 33708 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
162, 13, 14, 15syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
1716adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
18 simpl33 1088 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
)
19 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  e.  (
Atoms `  K ) )
207, 8ltrnco 34255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
212, 3, 13, 20syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
227, 8ltrncnv 33680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
232, 13, 22syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  `' F  e.  T )
24 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
25 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
2624, 25, 7, 8, 9trlco 34263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  o.  F )  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( R `  ( ( h  o.  F )  o.  `' F ) ) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 `' F ) ) )
272, 21, 23, 26syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( ( h  o.  F )  o.  `' F ) ) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 `' F ) ) )
28 coass 5373 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  o.  F )  o.  `' F )  =  ( h  o.  ( F  o.  `' F ) )
295, 7, 8ltrn1o 33658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
302, 13, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  F : B -1-1-onto-> B
)
31 f1ococnv2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
3332coeq2d 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  ( F  o.  `' F ) )  =  ( h  o.  (  _I  |`  B ) ) )
345, 7, 8ltrn1o 33658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T
)  ->  h : B
-1-1-onto-> B )
352, 3, 34syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  h : B -1-1-onto-> B
)
36 f1of 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : B -1-1-onto-> B  ->  h : B
--> B )
37 fcoi1 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : B --> B  -> 
( h  o.  (  _I  |`  B ) )  =  h )
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  (  _I  |`  B ) )  =  h )
3933, 38eqtrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  ( F  o.  `' F ) )  =  h )
4028, 39syl5eq 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( ( h  o.  F )  o.  `' F )  =  h )
4140fveq2d 5885 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( ( h  o.  F )  o.  `' F ) )  =  ( R `  h
) )
427, 8, 9trlcnv 33700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
432, 13, 42syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
4443oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  `' F ) )  =  ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 F ) ) )
4527, 41, 443brtr3d 4453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  h ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
4645adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
4724, 25, 6hlatlej2 32910 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
481, 19, 17, 47syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
49 hllat 32898 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
501, 49syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  Lat )
515, 6atbase 32824 . . . . . 6  |-  ( ( R `  h )  e.  ( Atoms `  K
)  ->  ( R `  h )  e.  B
)
5212, 51syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h )  e.  B
)
535, 6atbase 32824 . . . . . 6  |-  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
5417, 53syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
555, 25, 6hlatjcl 32901 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )  ->  ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) )  e.  B
)
561, 19, 17, 55syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) )  e.  B
)
575, 24, 25latjle12 16307 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  h )  e.  B  /\  ( R `  F
)  e.  B  /\  ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 F ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( R `  h ) ( le `  K
) ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) )  /\  ( R `  F )
( le `  K
) ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) ) )  <->  ( ( R `  h )
( join `  K )
( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) ) )
5850, 52, 54, 56, 57syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( R `  h
) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) )  /\  ( R `  F ) ( le `  K
) ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) ) )  <->  ( ( R `  h )
( join `  K )
( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) ) )
5946, 48, 58mpbi2and 929 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  h )
( join `  K )
( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
6024, 25, 62atjlej 33013 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
)  /\  ( ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  (
( R `  h
) ( join `  K
) ( R `  F ) ) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 F ) ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
611, 12, 17, 18, 19, 17, 59, 60syl133anc 1287 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
62 nelne2 2750 . . . 4  |-  ( ( ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  (
h  o.  F ) ) )
6362necomd 2691 . . 3  |-  ( ( ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
6416, 63sylan 473 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  -.  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
6561, 64pm2.61dan 798 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   class class class wbr 4423    _I cid 4763   `'ccnv 4852    |` cres 4855    o. ccom 4857   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   joincjn 16188   Latclat 16290   Atomscatm 32798   HLchlt 32885   LHypclh 33518   LTrncltrn 33635   trLctrl 33693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-riotaBAD 32494
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-undef 7031  df-map 7485  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-p1 16285  df-lat 16291  df-clat 16353  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-llines 33032  df-lplanes 33033  df-lvols 33034  df-lines 33035  df-psubsp 33037  df-pmap 33038  df-padd 33330  df-lhyp 33522  df-laut 33523  df-ldil 33638  df-ltrn 33639  df-trl 33694
This theorem is referenced by:  cdlemg47  34272
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