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Theorem cdlemg46 31217
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, seventh line of third paragraph on p. 117: "hf and f have different traces." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg46.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemg46.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg46.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg46.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg46  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
Distinct variable groups:    h, F    h, H    h, K    R, h    T, h    h, W
Allowed substitution hint:    B( h)

Proof of Theorem cdlemg46
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1008 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
2 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  h  e.  T
)
4 simp32 994 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  h  =/=  (  _I  |`  B ) )
5 cdlemg46.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
7 cdlemg46.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemg46.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 cdlemg46.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
105, 6, 7, 8, 9trlnidat 30655 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  h  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K ) )
112, 3, 4, 10syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K ) )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K ) )
13 simp2l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  F  e.  T
)
14 simp31 993 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  B ) )
155, 6, 7, 8, 9trlnidat 30655 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
162, 13, 14, 15syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
1716adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
18 simpl33 1040 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
)
19 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  e.  (
Atoms `  K ) )
207, 8ltrnco 31201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
212, 3, 13, 20syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  F )  e.  T
)
227, 8ltrncnv 30628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
232, 13, 22syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  `' F  e.  T )
24 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
25 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
2624, 25, 7, 8, 9trlco 31209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( h  o.  F )  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( R `  ( ( h  o.  F )  o.  `' F ) ) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 `' F ) ) )
272, 21, 23, 26syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( ( h  o.  F )  o.  `' F ) ) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 `' F ) ) )
28 coass 5347 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  o.  F )  o.  `' F )  =  ( h  o.  ( F  o.  `' F ) )
295, 7, 8ltrn1o 30606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
302, 13, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  F : B -1-1-onto-> B
)
31 f1ococnv2 5661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
3332coeq2d 4994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  ( F  o.  `' F ) )  =  ( h  o.  (  _I  |`  B ) ) )
345, 7, 8ltrn1o 30606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  h  e.  T
)  ->  h : B
-1-1-onto-> B )
352, 3, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  h : B -1-1-onto-> B
)
36 f1of 5633 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : B -1-1-onto-> B  ->  h : B
--> B )
37 fcoi1 5576 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : B --> B  -> 
( h  o.  (  _I  |`  B ) )  =  h )
3835, 36, 373syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  (  _I  |`  B ) )  =  h )
3933, 38eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( h  o.  ( F  o.  `' F ) )  =  h )
4028, 39syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( ( h  o.  F )  o.  `' F )  =  h )
4140fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( ( h  o.  F )  o.  `' F ) )  =  ( R `  h
) )
427, 8, 9trlcnv 30647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
432, 13, 42syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
4443oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  `' F ) )  =  ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 F ) ) )
4527, 41, 443brtr3d 4201 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  h ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
4645adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
4724, 25, 6hlatlej2 29858 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
481, 19, 17, 47syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
49 hllat 29846 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
501, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  Lat )
515, 6atbase 29772 . . . . . 6  |-  ( ( R `  h )  e.  ( Atoms `  K
)  ->  ( R `  h )  e.  B
)
5212, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  h )  e.  B
)
535, 6atbase 29772 . . . . . 6  |-  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
5417, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
555, 25, 6hlatjcl 29849 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )  ->  ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) )  e.  B
)
561, 19, 17, 55syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) )  e.  B
)
575, 24, 25latjle12 14446 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  h )  e.  B  /\  ( R `  F
)  e.  B  /\  ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 F ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( R `  h ) ( le `  K
) ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) )  /\  ( R `  F )
( le `  K
) ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) ) )  <->  ( ( R `  h )
( join `  K )
( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) ) )
5850, 52, 54, 56, 57syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( R `  h
) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) )  /\  ( R `  F ) ( le `  K
) ( ( R `
 ( h  o.  F ) ) (
join `  K )
( R `  F
) ) )  <->  ( ( R `  h )
( join `  K )
( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) ) )
5946, 48, 58mpbi2and 888 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  h )
( join `  K )
( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  (
h  o.  F ) ) ( join `  K
) ( R `  F ) ) )
6024, 25, 62atjlej 29961 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  h )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
)  /\  ( ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  (
( R `  h
) ( join `  K
) ( R `  F ) ) ( le `  K ) ( ( R `  ( h  o.  F
) ) ( join `  K ) ( R `
 F ) ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
611, 12, 17, 18, 19, 17, 59, 60syl133anc 1207 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
62 nelne2 2657 . . . 4  |-  ( ( ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  (
h  o.  F ) ) )
6362necomd 2650 . . 3  |-  ( ( ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
6416, 63sylan 458 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F )
) )  /\  -.  ( R `  ( h  o.  F ) )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  ( h  o.  F ) )  =/=  ( R `  F
) )
6561, 64pm2.61dan 767 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  h  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  h  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  h )  =/=  ( R `  F ) ) )  ->  ( R `  ( h  o.  F
) )  =/=  ( R `  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    _I cid 4453   `'ccnv 4836    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640
This theorem is referenced by:  cdlemg47  31218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641
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