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Theorem cdlemg44 34270
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, fifth line of third paragraph on p. 117: "and hence fg = gf." (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg44.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg44.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg44.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg44  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )

Proof of Theorem cdlemg44
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3 cdlemg44.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhpexnle 33543 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K )  -.  p ( le `  K ) W )
543ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K )  -.  p ( le `  K ) W )
6 simp11 1018 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp12l 1101 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  F  e.  T
)
8 simp12r 1102 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  G  e.  T
)
9 cdlemg44.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
103, 9ltrnco 34256 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
116, 7, 8, 10syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
123, 9ltrnco 34256 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
136, 8, 7, 12syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
14 3simpc 987 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p ( le
`  K ) W ) )
15 simp13 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
16 cdlemg44.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
173, 9, 16, 1, 2cdlemg44b 34269 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  p
( le `  K
) W ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)  ->  ( F `  ( G `  p
) )  =  ( G `  ( F `
 p ) ) )
186, 7, 8, 14, 15, 17syl131anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F `  ( G `  p ) )  =  ( G `
 ( F `  p ) ) )
19 simp12 1019 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )
20 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) )
211, 2, 3, 9ltrncoval 33682 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( F `  ( G `
 p ) ) )
226, 19, 20, 21syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( F `  ( G `
 p ) ) )
231, 2, 3, 9ltrncoval 33682 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  p )  =  ( G `  ( F `
 p ) ) )
246, 8, 7, 20, 23syl121anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( ( G  o.  F ) `  p )  =  ( G `  ( F `
 p ) ) )
2518, 22, 243eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( ( G  o.  F
) `  p )
)
261, 2, 3, 9cdlemd 33744 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T  /\  ( G  o.  F )  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  /\  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( ( G  o.  F
) `  p )
)  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
276, 11, 13, 14, 25, 26syl311anc 1232 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
2827rexlimdv3a 2838 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )  -.  p ( le `  K ) W  -> 
( F  o.  G
)  =  ( G  o.  F ) ) )
295, 28mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   class class class wbr 4287    o. ccom 4839   ` cfv 5413   lecple 14237   Atomscatm 32801   HLchlt 32888   LHypclh 33521   LTrncltrn 33638   trLctrl 33695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-riotaBAD 32497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-undef 6784  df-map 7208  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-oposet 32714  df-ol 32716  df-oml 32717  df-covers 32804  df-ats 32805  df-atl 32836  df-cvlat 32860  df-hlat 32889  df-llines 33035  df-lplanes 33036  df-lvols 33037  df-lines 33038  df-psubsp 33040  df-pmap 33041  df-padd 33333  df-lhyp 33525  df-laut 33526  df-ldil 33641  df-ltrn 33642  df-trl 33696
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