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Theorem cdlemg42 34341
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, first line of third paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg42.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg42.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg42.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg42.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg42.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg42.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg42  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  -.  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )

Proof of Theorem cdlemg42
StepHypRef Expression
1 simp33 1052 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
2 simpl1l 1065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  K  e.  HL )
3 simp31l 1137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  P  e.  A )
43adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  e.  A )
5 simp1 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 simp2l 1040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  F  e.  T )
7 cdlemg42.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdlemg42.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 cdlemg42.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 cdlemg42.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
117, 8, 9, 10ltrnat 33750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
125, 6, 3, 11syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
1312adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( F `  P )  e.  A )
14 cdlemg42.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
157, 14, 8hlatlej1 32985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
162, 4, 13, 15syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
17 simpr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
18 hllat 32974 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
192, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  K  e.  Lat )
20 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 8atbase 32900 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
224, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
23 simp2r 1041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  G  e.  T )
247, 8, 9, 10ltrnat 33750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
255, 23, 3, 24syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
2625adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  e.  A )
2720, 8atbase 32900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
2920, 14, 8hlatjcl 32977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( F `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
302, 4, 13, 29syl3anc 1276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
3120, 7, 14latjle12 16357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  ( F `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  <->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
3219, 22, 28, 30, 31syl13anc 1278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  <->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
3316, 17, 32mpbi2and 937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) )
34 simpl32 1096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  =/=  P )
3534necomd 2691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  =/=  ( G `  P
) )
367, 14, 8ps-1 33087 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( G `  P
)  e.  A  /\  P  =/=  ( G `  P ) )  /\  ( P  e.  A  /\  ( F `  P
)  e.  A ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) )  <-> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  =  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
372, 4, 26, 35, 4, 13, 36syl132anc 1294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) )  <->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  =  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
3833, 37mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  =  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
3938oveq1d 6330 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) W )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) ) ( meet `  K
) W ) )
40 simpl1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41 simpl2r 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  G  e.  T )
42 simpl31 1095 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
43 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
44 cdlemg42.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
457, 14, 43, 8, 9, 10, 44trlval2 33774 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
4640, 41, 42, 45syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) ) (
meet `  K ) W ) )
47 simpl2l 1067 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  F  e.  T )
487, 14, 43, 8, 9, 10, 44trlval2 33774 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
4940, 47, 42, 48syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) ) (
meet `  K ) W ) )
5039, 46, 493eqtr4rd 2507 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
5150ex 440 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
)  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
5251necon3ad 2649 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G
)  ->  -.  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) ) )
531, 52mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  -.  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   class class class wbr 4416   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Basecbs 15170   lecple 15246   joincjn 16238   meetcmee 16239   Latclat 16340   Atomscatm 32874   HLchlt 32961   LHypclh 33594   LTrncltrn 33711   trLctrl 33769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-map 7500  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-lat 16341  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770
This theorem is referenced by:  cdlemg43  34342
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