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Theorem cdlemg42 34208
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, first line of third paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg42.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg42.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg42.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg42.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg42.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg42.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg42  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  -.  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )

Proof of Theorem cdlemg42
StepHypRef Expression
1 simp33 1043 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
2 simpl1l 1056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  K  e.  HL )
3 simp31l 1128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  P  e.  A )
43adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  e.  A )
5 simp1 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 simp2l 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  F  e.  T )
7 cdlemg42.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdlemg42.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 cdlemg42.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 cdlemg42.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
117, 8, 9, 10ltrnat 33617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
125, 6, 3, 11syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
1312adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( F `  P )  e.  A )
14 cdlemg42.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
157, 14, 8hlatlej1 32852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
162, 4, 13, 15syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
17 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
18 hllat 32841 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
192, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  K  e.  Lat )
20 eqid 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 8atbase 32767 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
224, 21syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
23 simp2r 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  G  e.  T )
247, 8, 9, 10ltrnat 33617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
255, 23, 3, 24syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
2625adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  e.  A )
2720, 8atbase 32767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
2920, 14, 8hlatjcl 32844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( F `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
302, 4, 13, 29syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
3120, 7, 14latjle12 16251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  ( F `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  <->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
3219, 22, 28, 30, 31syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  <->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
3316, 17, 32mpbi2and 929 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) )
34 simpl32 1087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  =/=  P )
3534necomd 2656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  =/=  ( G `  P
) )
367, 14, 8ps-1 32954 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( G `  P
)  e.  A  /\  P  =/=  ( G `  P ) )  /\  ( P  e.  A  /\  ( F `  P
)  e.  A ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) )  <-> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  =  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
372, 4, 26, 35, 4, 13, 36syl132anc 1282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) )  <->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  =  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
3833, 37mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  =  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
3938oveq1d 6264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) W )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) ) ( meet `  K
) W ) )
40 simpl1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41 simpl2r 1059 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  G  e.  T )
42 simpl31 1086 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
43 eqid 2428 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
44 cdlemg42.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
457, 14, 43, 8, 9, 10, 44trlval2 33641 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
4640, 41, 42, 45syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) ) (
meet `  K ) W ) )
47 simpl2l 1058 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  F  e.  T )
487, 14, 43, 8, 9, 10, 44trlval2 33641 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
4940, 47, 42, 48syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) ) (
meet `  K ) W ) )
5039, 46, 493eqtr4rd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
5150ex 435 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
)  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
5251necon3ad 2614 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G
)  ->  -.  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) ) )
531, 52mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  -.  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   lecple 15140   joincjn 16132   meetcmee 16133   Latclat 16234   Atomscatm 32741   HLchlt 32828   LHypclh 33461   LTrncltrn 33578   trLctrl 33636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-map 7429  df-preset 16116  df-poset 16134  df-plt 16147  df-lub 16163  df-glb 16164  df-join 16165  df-meet 16166  df-p0 16228  df-lat 16235  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-lhyp 33465  df-laut 33466  df-ldil 33581  df-ltrn 33582  df-trl 33637
This theorem is referenced by:  cdlemg43  34209
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