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Theorem cdlemg42 34679
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, first line of third paragraph on p. 117. (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg42.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg42.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg42.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg42.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg42.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg42.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg42  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  -.  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )

Proof of Theorem cdlemg42
StepHypRef Expression
1 simp33 1026 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
2 simpl1l 1039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  K  e.  HL )
3 simp31l 1111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  P  e.  A )
43adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  e.  A )
5 simp1 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 simp2l 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  F  e.  T )
7 cdlemg42.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdlemg42.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 cdlemg42.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 cdlemg42.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
117, 8, 9, 10ltrnat 34090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
125, 6, 3, 11syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
1312adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( F `  P )  e.  A )
14 cdlemg42.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
157, 14, 8hlatlej1 33325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) ) )
162, 4, 13, 15syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
17 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
18 hllat 33314 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
192, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  K  e.  Lat )
20 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 8atbase 33240 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
224, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
23 simp2r 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  G  e.  T )
247, 8, 9, 10ltrnat 34090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
255, 23, 3, 24syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
2625adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  e.  A )
2720, 8atbase 33240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
2920, 14, 8hlatjcl 33317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( F `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( F `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
302, 4, 13, 29syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
3120, 7, 14latjle12 15334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  ( F `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  <->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
3219, 22, 28, 30, 31syl13anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  <->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  .<_  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
3316, 17, 32mpbi2and 912 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) ) )
34 simpl32 1070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( G `  P )  =/=  P )
3534necomd 2719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  P  =/=  ( G `  P
) )
367, 14, 8ps-1 33427 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( G `  P
)  e.  A  /\  P  =/=  ( G `  P ) )  /\  ( P  e.  A  /\  ( F `  P
)  e.  A ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .<_  ( P  .\/  ( F `
 P ) )  <-> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  =  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
372, 4, 26, 35, 4, 13, 36syl132anc 1237 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  .<_  ( P  .\/  ( F `  P ) )  <->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  =  ( P 
.\/  ( F `  P ) ) ) )
3833, 37mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P ) )  =  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
3938oveq1d 6205 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) W )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) ) ( meet `  K
) W ) )
40 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41 simpl2r 1042 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  G  e.  T )
42 simpl31 1069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
43 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
44 cdlemg42.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
457, 14, 43, 8, 9, 10, 44trlval2 34113 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
4640, 41, 42, 45syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) ) (
meet `  K ) W ) )
47 simpl2l 1041 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  F  e.  T )
487, 14, 43, 8, 9, 10, 44trlval2 34113 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
4940, 47, 42, 48syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) ) (
meet `  K ) W ) )
5039, 46, 493eqtr4rd 2503 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `
 F )  =/=  ( R `  G
) ) )  /\  ( G `  P ) 
.<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
5150ex 434 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
)  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
5251necon3ad 2658 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G
)  ->  -.  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) ) )
531, 52mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) ) )  ->  -.  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   lecple 14347   joincjn 15216   meetcmee 15217   Latclat 15317   Atomscatm 33214   HLchlt 33301   LHypclh 33934   LTrncltrn 34051   trLctrl 34108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-map 7316  df-poset 15218  df-plt 15230  df-lub 15246  df-glb 15247  df-join 15248  df-meet 15249  df-p0 15311  df-lat 15318  df-oposet 33127  df-ol 33129  df-oml 33130  df-covers 33217  df-ats 33218  df-atl 33249  df-cvlat 33273  df-hlat 33302  df-lhyp 33938  df-laut 33939  df-ldil 34054  df-ltrn 34055  df-trl 34109
This theorem is referenced by:  cdlemg43  34680
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