Theorem cdlemg41 34197

Description: Convert cdlemg40 34196 to function composition. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 31-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg35.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg35.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg35.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg35.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg35.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg35.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
cdlemg41	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( P .\/ ( ( F o. G ) ` P ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( ( F o. G ) ` Q ) ) ./\ W ) )

Proof of Theorem cdlemg41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg35.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
2		cdlemg35.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
3		cdlemg35.m	. . 3 |- ./\ = ( meet ` K )
4		cdlemg35.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
5		cdlemg35.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemg35.t	. . 3 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cdlemg40 34196	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) )
8		simp1 1005	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		simp3 1007	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( F e. T /\ G e. T ) )
10		simp2ll 1072	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> P e. A )
11	1, 4, 5, 6	ltrncoval 33622	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( F o. G ) ` P ) = ( F ` ( G ` P ) ) )
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( F o. G ) ` P ) = ( F ` ( G ` P ) ) )
13	12	oveq2d 6265	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( P .\/ ( ( F o. G ) ` P ) ) = ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) )
14	13	oveq1d 6264	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( P .\/ ( ( F o. G ) ` P ) ) ./\ W ) = ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) )
15		simp2rl 1074	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> Q e. A )
16	1, 4, 5, 6	ltrncoval 33622	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ Q e. A ) -> ( ( F o. G ) ` Q ) = ( F ` ( G ` Q ) ) )
17	8, 9, 15, 16	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( F o. G ) ` Q ) = ( F ` ( G ` Q ) ) )
18	17	oveq2d 6265	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( Q .\/ ( ( F o. G ) ` Q ) ) = ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) )
19	18	oveq1d 6264	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( Q .\/ ( ( F o. G ) ` Q ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) )
20	7, 14, 19	3eqtr4d 2472	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( P .\/ ( ( F o. G ) ` P ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( ( F o. G ) ` Q ) ) ./\ W ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   class class class wbr 4366   o. ccom 4800   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   lecple 15140   joincjn 16132   meetcmee 16133   Atomscatm 32741   HLchlt 32828   LHypclh 33461   LTrncltrn 33578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-riotaBAD 32437

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-undef 6975  df-map 7429  df-preset 16116  df-poset 16134  df-plt 16147  df-lub 16163  df-glb 16164  df-join 16165  df-meet 16166  df-p0 16228  df-p1 16229  df-lat 16235  df-clat 16297  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-llines 32975  df-lplanes 32976  df-lvols 32977  df-lines 32978  df-psubsp 32980  df-pmap 32981  df-padd 33273  df-lhyp 33465  df-laut 33466  df-ldil 33581  df-ltrn 33582  df-trl 33637

This theorem is referenced by:  ltrnco  34198