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Theorem cdlemg2l 33879
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 23-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg2inv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg2inv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg2j.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg2j.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg2j.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg2j.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg2j.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg2l  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  P ) )  .\/  U ) )

Proof of Theorem cdlemg2l
StepHypRef Expression
1 cdlemg2inv.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 cdlemg2inv.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 cdlemg2j.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 cdlemg2j.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 cdlemg2j.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6 cdlemg2j.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 cdlemg2j.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7cdlemg2k 33877 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  G  e.  T )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( G `  Q ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  U
) )
983adant3l 1260 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
)  =  ( ( G `  P ) 
.\/  U ) )
109fveq2d 5885 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( F `  (
( G `  P
)  .\/  ( G `  Q ) ) )  =  ( F `  ( ( G `  P )  .\/  U
) ) )
11 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simp3l 1033 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  F  e.  T )
13 simp3r 1034 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  ->  G  e.  T )
14 simp2l 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
153, 5, 1, 2ltrnel 33413 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
1611, 13, 14, 15syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
1716simpld 460 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( G `  P
)  e.  A )
18 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1918, 5atbase 32564 . . . 4  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
2017, 19syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( G `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
21 simp2r 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
223, 5, 1, 2ltrnel 33413 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )
2311, 13, 21, 22syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )
2423simpld 460 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( G `  Q
)  e.  A )
2518, 5atbase 32564 . . . 4  |-  ( ( G `  Q )  e.  A  ->  ( G `  Q )  e.  ( Base `  K
) )
2624, 25syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( G `  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
2718, 4, 1, 2ltrnj 33406 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  (
Base `  K )  /\  ( G `  Q
)  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F `  ( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
) )  =  ( ( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) ) )
2811, 12, 20, 26, 27syl112anc 1268 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( F `  (
( G `  P
)  .\/  ( G `  Q ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) ) )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7cdlemg2fv2 33876 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( ( G `
 P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  /\  F  e.  T )  ->  ( F `  (
( G `  P
)  .\/  U )
)  =  ( ( F `  ( G `
 P ) ) 
.\/  U ) )
3011, 14, 21, 16, 12, 29syl131anc 1277 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( F `  (
( G `  P
)  .\/  U )
)  =  ( ( F `  ( G `
 P ) ) 
.\/  U ) )
3110, 28, 303eqtr3d 2478 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  P ) )  .\/  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159   joincjn 16140   meetcmee 16141   Atomscatm 32538   HLchlt 32625   LHypclh 33258   LTrncltrn 33375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-undef 7028  df-map 7482  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  33908  cdlemg9b  33909  cdlemg12b  33920
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