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Theorem cdlemg1cex 33864
Description: Any translation is one of our  F s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf 33839? (Contributed by NM, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg1c.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg1c.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg1c.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg1cex  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, p, q, A    f, F, p, q    f, H, p, q    f, K, p, q    .<_ , f, p, q    T, f, p, q    f, W, p, q

Proof of Theorem cdlemg1cex
StepHypRef Expression
1 cdlemg1c.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdlemg1c.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 cdlemg1c.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 cdlemg1c.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
51, 2, 3, 4ltrnel 33413 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  p )  e.  A  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
653expa 1205 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  p )  e.  A  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
76simpld 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( F `  p )  e.  A
)
8 simprr 764 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  -.  p  .<_  W )
96simprd 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  p )  .<_  W )
10 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )
12 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
131, 2, 3, 4cdlemeiota 33861 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W )  /\  F  e.  T )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  ( F `  p ) ) )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) )
15 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
q  .<_  W  <->  ( F `  p )  .<_  W ) )
1615notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( -.  q  .<_  W  <->  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
17 eqeq2 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
( f `  p
)  =  q  <->  ( f `  p )  =  ( F `  p ) ) )
1817riotabidv 6269 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  q )  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) )
1918eqeq2d 2443 . . . . . . 7  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q )  <->  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) )
2016, 193anbi23d 1338 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) )  <->  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) ) )
2120rspcev 3188 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  p
)  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  ( F `
 p )  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  q ) ) )
227, 8, 9, 14, 21syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  q ) ) )
231, 2, 3lhpexnle 33280 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
2423adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
2522, 24reximddv 2908 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  q ) ) )
2625ex 435 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) ) ) )
27 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
28 simp2l 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  p  e.  A
)
29 simp31 1041 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  -.  p  .<_  W )
3028, 29jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )
31 simp2r 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  q  e.  A
)
32 simp32 1042 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  -.  q  .<_  W )
3331, 32jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
34 simp33 1043 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) )
351, 2, 3, 4cdlemg1ci2 33862 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) )  ->  F  e.  T )
3627, 30, 33, 34, 35syl31anc 1267 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  F  e.  T
)
37363exp 1204 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) )  ->  F  e.  T ) ) )
3837rexlimdvv 2930 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) )  ->  F  e.  T ) )
3926, 38impbid 193 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   iota_crio 6266   lecple 15159   Atomscatm 32538   HLchlt 32625   LHypclh 33258   LTrncltrn 33375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-undef 7028  df-map 7482  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434
This theorem is referenced by:  cdlemg2cex  33867
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