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Theorem cdlemg1cex 34230
Description: Any translation is one of our  F s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf 34205? (Contributed by NM, 17-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg1c.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg1c.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg1c.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg1c.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg1cex  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, p, q, A    f, F, p, q    f, H, p, q    f, K, p, q    .<_ , f, p, q    T, f, p, q    f, W, p, q

Proof of Theorem cdlemg1cex
StepHypRef Expression
1 cdlemg1c.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdlemg1c.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 cdlemg1c.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhpexnle 33648 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  E. p  e.  A  -.  p  .<_  W )
6 cdlemg1c.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
71, 2, 3, 6ltrnel 33781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  p )  e.  A  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
873expa 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  p )  e.  A  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
98simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( F `  p )  e.  A
)
10 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  -.  p  .<_  W )
118simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  -.  ( F `  p )  .<_  W )
12 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )
14 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
151, 2, 3, 6cdlemeiota 34227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W )  /\  F  e.  T )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  ( F `  p ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) )
17 breq1 4294 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
q  .<_  W  <->  ( F `  p )  .<_  W ) )
1817notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( -.  q  .<_  W  <->  -.  ( F `  p )  .<_  W ) )
19 eqeq2 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
( f `  p
)  =  q  <->  ( f `  p )  =  ( F `  p ) ) )
2019riotabidv 6053 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  q )  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) )
2120eqeq2d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  ( F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q )  <->  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) )
2218, 213anbi23d 1292 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  ( F `  p )  ->  (
( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) )  <->  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  ( F `  p )  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) ) )
2322rspcev 3072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  p
)  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  ( F `
 p )  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  ( F `
 p ) ) ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  q ) ) )
249, 10, 11, 16, 23syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  q ) ) )
2524exp32 605 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( p  e.  A  ->  ( -.  p  .<_  W  ->  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) ) ) )
2625reximdvai 2825 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. p  e.  A  -.  p  .<_  W  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  q ) ) ) )
275, 26mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p )  =  q ) ) )
2827ex 434 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) ) ) )
29 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
30 simp2l 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  p  e.  A
)
31 simp31 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  -.  p  .<_  W )
3230, 31jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W ) )
33 simp2r 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  q  e.  A
)
34 simp32 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  -.  q  .<_  W )
3533, 34jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )
36 simp33 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) )
371, 2, 3, 6cdlemg1ci2 34228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
p  e.  A  /\  -.  p  .<_  W )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) )  ->  F  e.  T )
3829, 32, 35, 36, 37syl31anc 1221 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) )  ->  F  e.  T
)
39383exp 1186 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  (
iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) )  ->  F  e.  T ) ) )
4039rexlimdvv 2846 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  p
)  =  q ) )  ->  F  e.  T ) )
4128, 40impbid 191 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( F  e.  T  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( -.  p  .<_  W  /\  -.  q  .<_  W  /\  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `
 p )  =  q ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2715   class class class wbr 4291   ` cfv 5417   iota_crio 6050   lecple 14244   Atomscatm 32906   HLchlt 32993   LHypclh 33626   LTrncltrn 33743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-riotaBAD 32602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-undef 6791  df-map 7215  df-poset 15115  df-plt 15127  df-lub 15143  df-glb 15144  df-join 15145  df-meet 15146  df-p0 15208  df-p1 15209  df-lat 15215  df-clat 15277  df-oposet 32819  df-ol 32821  df-oml 32822  df-covers 32909  df-ats 32910  df-atl 32941  df-cvlat 32965  df-hlat 32994  df-llines 33140  df-lplanes 33141  df-lvols 33142  df-lines 33143  df-psubsp 33145  df-pmap 33146  df-padd 33438  df-lhyp 33630  df-laut 33631  df-ldil 33746  df-ltrn 33747  df-trl 33801
This theorem is referenced by:  cdlemg2cex  34233
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