Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg17h Structured version   Unicode version

Theorem cdlemg17h 34148
Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg12.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg12.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg12.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg12.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg12b.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg17h  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  =  ( F `  P
)  \/  S  =  ( F `  Q
) ) )
Distinct variable groups:    A, r    G, r    .\/ , r    .<_ , r    P, r    Q, r    W, r    F, r    S, r
Allowed substitution hints:    R( r)    T( r)    H( r)    K( r)    ./\ ( r)

Proof of Theorem cdlemg17h
StepHypRef Expression
1 simp11l 1116 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp23r 1127 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) )
3 simp11 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
4 simp22l 1124 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  F  e.  T
)
5 simp21l 1122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  S  e.  A
)
6 cdlemg12.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
7 cdlemg12.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 cdlemg12.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 cdlemg12.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
106, 7, 8, 9ltrncnvat 33619 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  S  e.  A
)  ->  ( `' F `  S )  e.  A )
113, 4, 5, 10syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( `' F `  S )  e.  A
)
12 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1312, 7atbase 32768 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F `  S )  e.  A  ->  ( `' F `  S )  e.  ( Base `  K
) )
1411, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( `' F `  S )  e.  (
Base `  K )
)
15 simp12l 1118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  e.  A
)
16 simp13l 1120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
17 cdlemg12.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
1812, 17, 7hlatjcl 32845 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
191, 15, 16, 18syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K ) )
2012, 6, 8, 9ltrnle 33607 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( `' F `  S )  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( `' F `  S ) 
.<_  ( P  .\/  Q
)  <->  ( F `  ( `' F `  S ) )  .<_  ( F `  ( P  .\/  Q
) ) ) )
213, 4, 14, 19, 20syl112anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S ) 
.<_  ( P  .\/  Q
)  <->  ( F `  ( `' F `  S ) )  .<_  ( F `  ( P  .\/  Q
) ) ) )
2212, 8, 9ltrn1o 33602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
233, 4, 22syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  F : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2412, 7atbase 32768 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
255, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  S  e.  (
Base `  K )
)
26 f1ocnvfv2 6183 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  S  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  S ) )  =  S )
2723, 25, 26syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  S ) )  =  S )
2812, 7atbase 32768 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2915, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  e.  (
Base `  K )
)
3012, 7atbase 32768 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
3116, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  Q  e.  (
Base `  K )
)
3212, 17, 8, 9ltrnj 33610 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  (
Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F `  ( P  .\/  Q
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( F `  Q ) ) )
333, 4, 29, 31, 32syl112anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( F `  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) )
3427, 33breq12d 4430 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( F `
 ( `' F `  S ) )  .<_  ( F `  ( P 
.\/  Q ) )  <-> 
S  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( F `  Q ) ) ) )
3521, 34bitr2d 257 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  .<_  ( ( F `  P
)  .\/  ( F `  Q ) )  <->  ( `' F `  S )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
362, 35mpbid 213 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( `' F `  S )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
37 simp33 1043 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) )
38 simp23l 1126 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
39 simp21 1038 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
406, 7, 8, 9ltrncnvel 33620 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  ->  ( ( `' F `  S )  e.  A  /\  -.  ( `' F `  S ) 
.<_  W ) )
413, 4, 39, 40syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S )  e.  A  /\  -.  ( `' F `  S ) 
.<_  W ) )
426, 17, 7cdleme0nex 33769 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  S )  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r ) ) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  =/=  Q )  /\  ( ( `' F `  S )  e.  A  /\  -.  ( `' F `  S )  .<_  W ) )  ->  ( ( `' F `  S )  =  P  \/  ( `' F `  S )  =  Q ) )
431, 36, 37, 15, 16, 38, 41, 42syl331anc 1289 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S )  =  P  \/  ( `' F `  S )  =  Q ) )
44 eqcom 2429 . . . 4  |-  ( ( F `  P )  =  S  <->  S  =  ( F `  P ) )
45 f1ocnvfvb 6185 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( F `
 P )  =  S  <->  ( `' F `  S )  =  P ) )
4623, 29, 25, 45syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( F `
 P )  =  S  <->  ( `' F `  S )  =  P ) )
4744, 46syl5rbbr 263 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S )  =  P  <->  S  =  ( F `  P ) ) )
48 eqcom 2429 . . . 4  |-  ( ( F `  Q )  =  S  <->  S  =  ( F `  Q ) )
49 f1ocnvfvb 6185 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( F `
 Q )  =  S  <->  ( `' F `  S )  =  Q ) )
5023, 31, 25, 49syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( F `
 Q )  =  S  <->  ( `' F `  S )  =  Q ) )
5148, 50syl5rbbr 263 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( `' F `  S )  =  Q  <->  S  =  ( F `  Q ) ) )
5247, 51orbi12d 714 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( ( ( `' F `  S )  =  P  \/  ( `' F `  S )  =  Q )  <->  ( S  =  ( F `  P )  \/  S  =  ( F `  Q ) ) ) )
5343, 52mpbid 213 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  =/=  Q  /\  S  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( F `  Q ) ) ) )  /\  ( ( G `  P )  =/=  P  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  W  /\  ( P  .\/  r )  =  ( Q  .\/  r
) ) ) )  ->  ( S  =  ( F `  P
)  \/  S  =  ( F `  Q
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   E.wrex 2774   class class class wbr 4417   `'ccnv 4845   -1-1-onto->wf1o 5592   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   Basecbs 15099   lecple 15175   joincjn 16167   meetcmee 16168   Atomscatm 32742   HLchlt 32829   LHypclh 33462   LTrncltrn 33579   trLctrl 33637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-map 7474  df-preset 16151  df-poset 16169  df-plt 16182  df-lub 16198  df-glb 16199  df-join 16200  df-meet 16201  df-p0 16263  df-lat 16270  df-oposet 32655  df-ol 32657  df-oml 32658  df-covers 32745  df-ats 32746  df-atl 32777  df-cvlat 32801  df-hlat 32830  df-lhyp 33466  df-laut 33467  df-ldil 33582  df-ltrn 33583
This theorem is referenced by:  cdlemg17i  34149
  Copyright terms: Public domain W3C validator