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Theorem cdlemg17a 36839
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 8-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg12.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg12.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg12.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg12.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg12b.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg17a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem cdlemg17a
StepHypRef Expression
1 eqid 2396 . 2  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 cdlemg12.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simp1l 1018 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 35540 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp1 994 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp3l 1022 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  G  e.  T )
8 simp2ll 1061 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  A )
9 cdlemg12.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 cdlemg12.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 cdlemg12.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
122, 9, 10, 11ltrnat 36316 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
136, 7, 8, 12syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  e.  A )
141, 9atbase 35466 . . 3  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
1513, 14syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
16 cdlemg12.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
171, 16, 9hlatjcl 35543 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
183, 8, 13, 17syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
19 simp2rl 1063 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Q  e.  A )
201, 16, 9hlatjcl 35543 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
213, 8, 19, 20syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
222, 16, 9hlatlej2 35552 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( G `  P
)  .<_  ( P  .\/  ( G `  P ) ) )
233, 8, 13, 22syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  .<_  ( P  .\/  ( G `  P ) ) )
24 simp2l 1020 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
25 cdlemg12.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
26 eqid 2396 . . . . 5  |-  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
272, 16, 25, 9, 10, 26cdleme0cp 36391 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  e.  A ) )  ->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
286, 24, 13, 27syl12anc 1224 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
292, 16, 9hlatlej1 35551 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
303, 8, 19, 29syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
31 cdlemg12b.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
322, 16, 25, 9, 10, 11, 31trlval2 36340 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
336, 7, 24, 32syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W ) )
34 simp3r 1023 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3533, 34eqbrtrrd 4406 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  Q
) )
361, 9atbase 35466 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
378, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
38 simp1r 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  H )
391, 10lhpbase 36174 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4038, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
411, 25latmcl 15822 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
425, 18, 40, 41syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
431, 2, 16latjle12 15832 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  Q
) )  <->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
445, 37, 42, 21, 43syl13anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
4530, 35, 44mpbi2and 919 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
4628, 45eqbrtrrd 4406 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
471, 2, 5, 15, 18, 21, 23, 46lattrd 15828 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   class class class wbr 4384   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   Basecbs 14657   lecple 14732   joincjn 15713   meetcmee 15714   Latclat 15815   Atomscatm 35440   HLchlt 35527   LHypclh 36160   LTrncltrn 36277   trLctrl 36335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-map 7362  df-preset 15697  df-poset 15715  df-plt 15728  df-lub 15744  df-glb 15745  df-join 15746  df-meet 15747  df-p0 15809  df-p1 15810  df-lat 15816  df-clat 15878  df-oposet 35353  df-ol 35355  df-oml 35356  df-covers 35443  df-ats 35444  df-atl 35475  df-cvlat 35499  df-hlat 35528  df-psubsp 35679  df-pmap 35680  df-padd 35972  df-lhyp 36164  df-laut 36165  df-ldil 36280  df-ltrn 36281  df-trl 36336
This theorem is referenced by:  cdlemg17b  36840
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