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Theorem cdlemg17a 34197
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 8-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg12.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg12.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg12.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg12.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg12.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg12b.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg17a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )

Proof of Theorem cdlemg17a
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . 2  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2 cdlemg12.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simp1l 1029 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 32898 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp1 1005 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp3l 1033 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  G  e.  T )
8 simp2ll 1072 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  A )
9 cdlemg12.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 cdlemg12.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 cdlemg12.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
122, 9, 10, 11ltrnat 33674 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
136, 7, 8, 12syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  e.  A )
141, 9atbase 32824 . . 3  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
1513, 14syl 17 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
16 cdlemg12.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
171, 16, 9hlatjcl 32901 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
183, 8, 13, 17syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
19 simp2rl 1074 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Q  e.  A )
201, 16, 9hlatjcl 32901 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
213, 8, 19, 20syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
222, 16, 9hlatlej2 32910 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( G `  P
)  .<_  ( P  .\/  ( G `  P ) ) )
233, 8, 13, 22syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  .<_  ( P  .\/  ( G `  P ) ) )
24 simp2l 1031 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
25 cdlemg12.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
26 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
272, 16, 25, 9, 10, 26cdleme0cp 33749 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( G `  P )  e.  A ) )  ->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
286, 24, 13, 27syl12anc 1262 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
292, 16, 9hlatlej1 32909 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
303, 8, 19, 29syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
31 cdlemg12b.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
322, 16, 25, 9, 10, 11, 31trlval2 33698 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
336, 7, 24, 32syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W ) )
34 simp3r 1034 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3533, 34eqbrtrrd 4446 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  Q
) )
361, 9atbase 32824 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
378, 36syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
38 simp1r 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  H )
391, 10lhpbase 33532 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4038, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
411, 25latmcl 16297 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
425, 18, 40, 41syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
431, 2, 16latjle12 16307 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  Q
) )  <->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
445, 37, 42, 21, 43syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  <->  ( P  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
4530, 35, 44mpbi2and 929 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
4628, 45eqbrtrrd 4446 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
471, 2, 5, 15, 18, 21, 23, 46lattrd 16303 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( G  e.  T  /\  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   joincjn 16188   meetcmee 16189   Latclat 16290   Atomscatm 32798   HLchlt 32885   LHypclh 33518   LTrncltrn 33635   trLctrl 33693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-map 7485  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-p1 16285  df-lat 16291  df-clat 16353  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-psubsp 33037  df-pmap 33038  df-padd 33330  df-lhyp 33522  df-laut 33523  df-ldil 33638  df-ltrn 33639  df-trl 33694
This theorem is referenced by:  cdlemg17b  34198
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