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Theorem cdlemg10a 33916
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 3-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg8.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg8.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg10.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg10a  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q )
) ) )  .<_  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
) )

Proof of Theorem cdlemg10a
StepHypRef Expression
1 simp11 1035 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 1036 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 1037 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp21 1038 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  F  e.  T )
5 simp22 1039 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  G  e.  T )
6 simp23 1040 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  =/=  Q )
7 simp31 1041 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =/=  ( P  .\/  Q ) )
8 cdlemg8.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdlemg8.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdlemg8.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 cdlemg8.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
12 cdlemg8.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 cdlemg8.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
148, 9, 10, 11, 12, 13cdlemg9 33910 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  P  =/= 
Q  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) ) )  .<_  ( ( ( ( F `  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `
 Q ) ) )  .\/  ( ( ( G `  P
)  .\/  P )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q
) ) ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14syl133anc 1287 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q )
) ) )  .<_  ( ( ( ( F `  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `
 Q ) ) )  .\/  ( ( ( G `  P
)  .\/  P )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q
) ) ) )
168, 11, 12, 13ltrnel 33413 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
171, 5, 2, 16syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
188, 11, 12, 13ltrnel 33413 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )
191, 5, 3, 18syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )
20 simp12l 1118 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  A )
21 simp13l 1120 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Q  e.  A )
2211, 12, 13ltrn11at 33421 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  =/=  Q
) )  ->  ( G `  P )  =/=  ( G `  Q
) )
231, 5, 20, 21, 6, 22syl113anc 1276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  =/=  ( G `
 Q ) )
24 simp32 1042 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  ( R `  F
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
25 cdlemg10.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
268, 9, 10, 11, 12, 13, 25cdlemg10c 33915 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( G `  Q ) )  <->  ( R `  F )  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
271, 2, 3, 4, 5, 26syl122anc 1273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( G `  Q ) )  <->  ( R `  F )  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
2824, 27mtbird 302 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  ( R `  F
)  .<_  ( ( G `
 P )  .\/  ( G `  Q ) ) )
298, 9, 10, 11, 12, 13, 25trlval4 33463 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P ) 
.<_  W )  /\  (
( G `  Q
)  e.  A  /\  -.  ( G `  Q
)  .<_  W ) )  /\  ( ( G `
 P )  =/=  ( G `  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
) ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) ) ) )
301, 4, 17, 19, 23, 28, 29syl132anc 1282 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) ) ) )
31 simp11l 1116 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
328, 11, 12, 13ltrnat 33414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
331, 5, 20, 32syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  e.  A )
348, 11, 12, 13ltrnat 33414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
351, 4, 33, 34syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  e.  A )
369, 11hlatjcom 32642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( G `
 P ) ) )
3731, 33, 35, 36syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  P ) )  .\/  ( G `  P ) ) )
388, 11, 12, 13ltrnat 33414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  Q  e.  A
)  ->  ( G `  Q )  e.  A
)
391, 5, 21, 38syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  Q
)  e.  A )
408, 11, 12, 13ltrnat 33414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  Q
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )
411, 4, 39, 40syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  e.  A )
429, 11hlatjcom 32642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  Q )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `
 Q ) ) )
4331, 39, 41, 42syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( G `  Q )  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  Q ) )  .\/  ( G `  Q ) ) )
4437, 43oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  ( F `  ( G `  Q )
) ) )  =  ( ( ( F `
 ( G `  P ) )  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `  Q ) ) ) )
4530, 44eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( ( ( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `
 Q ) ) ) )
46 simp33 1043 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  ( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
478, 9, 10, 11, 12, 13, 25trlval4 33463 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  ( R `  G ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) ) )
481, 5, 2, 3, 6, 46, 47syl132anc 1282 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) ) )
499, 11hlatjcom 32642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  =  ( ( G `  P ) 
.\/  P ) )
5031, 20, 33, 49syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  =  ( ( G `  P ) 
.\/  P ) )
519, 11hlatjcom 32642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( G `  Q )  e.  A )  -> 
( Q  .\/  ( G `  Q )
)  =  ( ( G `  Q ) 
.\/  Q ) )
5231, 21, 39, 51syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( Q  .\/  ( G `  Q )
)  =  ( ( G `  Q ) 
.\/  Q ) )
5350, 52oveq12d 6323 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( Q  .\/  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( ( G `
 P )  .\/  P )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q ) ) )
5448, 53eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  =  ( ( ( G `  P
)  .\/  P )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q
) ) )
5545, 54oveq12d 6323 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  =  ( ( ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( ( F `
 ( G `  Q ) )  .\/  ( G `  Q ) ) )  .\/  (
( ( G `  P )  .\/  P
)  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q ) ) ) )
5615, 55breqtrrd 4452 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q )
) ) )  .<_  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   lecple 15159   joincjn 16140   meetcmee 16141   Atomscatm 32538   HLchlt 32625   LHypclh 33258   LTrncltrn 33375   trLctrl 33433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-undef 7028  df-map 7482  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434
This theorem is referenced by:  cdlemg10  33917
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