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Theorem cdlemg10a 35436
Description: TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 3-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemg8.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemg8.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemg8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemg8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg10.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg10a  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q )
) ) )  .<_  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
) )

Proof of Theorem cdlemg10a
StepHypRef Expression
1 simp11 1026 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp12 1027 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
3 simp13 1028 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp21 1029 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  F  e.  T )
5 simp22 1030 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  G  e.  T )
6 simp23 1031 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  =/=  Q )
7 simp31 1032 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  Q ) ) )  =/=  ( P  .\/  Q ) )
8 cdlemg8.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdlemg8.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cdlemg8.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 cdlemg8.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
12 cdlemg8.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 cdlemg8.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
148, 9, 10, 11, 12, 13cdlemg9 35430 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  F  e.  T
)  /\  ( G  e.  T  /\  P  =/= 
Q  /\  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 Q ) ) )  =/=  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) ) )  .<_  ( ( ( ( F `  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `
 Q ) ) )  .\/  ( ( ( G `  P
)  .\/  P )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q
) ) ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14syl133anc 1251 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q )
) ) )  .<_  ( ( ( ( F `  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `
 Q ) ) )  .\/  ( ( ( G `  P
)  .\/  P )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q
) ) ) )
168, 11, 12, 13ltrnel 34935 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
171, 5, 2, 16syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
188, 11, 12, 13ltrnel 34935 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )
191, 5, 3, 18syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( G `  Q )  e.  A  /\  -.  ( G `  Q )  .<_  W ) )
20 simp12l 1109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  A )
21 simp13l 1111 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Q  e.  A )
2211, 12, 13ltrn11at 34943 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  =/=  Q
) )  ->  ( G `  P )  =/=  ( G `  Q
) )
231, 5, 20, 21, 6, 22syl113anc 1240 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  =/=  ( G `
 Q ) )
24 simp32 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  ( R `  F
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
25 cdlemg10.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
268, 9, 10, 11, 12, 13, 25cdlemg10c 35435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( G `  Q ) )  <->  ( R `  F )  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
271, 2, 3, 4, 5, 26syl122anc 1237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P ) 
.\/  ( G `  Q ) )  <->  ( R `  F )  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
2824, 27mtbird 301 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  ( R `  F
)  .<_  ( ( G `
 P )  .\/  ( G `  Q ) ) )
298, 9, 10, 11, 12, 13, 25trlval4 34984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P ) 
.<_  W )  /\  (
( G `  Q
)  e.  A  /\  -.  ( G `  Q
)  .<_  W ) )  /\  ( ( G `
 P )  =/=  ( G `  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( ( G `  P )  .\/  ( G `  Q )
) ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) ) ) )
301, 4, 17, 19, 23, 28, 29syl132anc 1246 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) ) ) )
31 simp11l 1107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
328, 11, 12, 13ltrnat 34936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
331, 5, 20, 32syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  P
)  e.  A )
348, 11, 12, 13ltrnat 34936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
351, 4, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  e.  A )
369, 11hlatjcom 34164 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( G `
 P ) ) )
3731, 33, 35, 36syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  P ) )  .\/  ( G `  P ) ) )
388, 11, 12, 13ltrnat 34936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  Q  e.  A
)  ->  ( G `  Q )  e.  A
)
391, 5, 21, 38syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( G `  Q
)  e.  A )
408, 11, 12, 13ltrnat 34936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  Q
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )
411, 4, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( F `  ( G `  Q )
)  e.  A )
429, 11hlatjcom 34164 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  Q )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  Q ) )  e.  A )  ->  (
( G `  Q
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `
 Q ) ) )
4331, 39, 41, 42syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( G `  Q )  .\/  ( F `  ( G `  Q ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  Q ) )  .\/  ( G `  Q ) ) )
4437, 43oveq12d 6300 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  ( F `  ( G `  Q )
) ) )  =  ( ( ( F `
 ( G `  P ) )  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `  Q ) ) ) )
4530, 44eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( ( ( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( ( F `  ( G `  Q ) )  .\/  ( G `
 Q ) ) ) )
46 simp33 1034 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  ( R `  G
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
478, 9, 10, 11, 12, 13, 25trlval4 34984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  ( R `  G ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) ) )
481, 5, 2, 3, 6, 46, 47syl132anc 1246 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( G `  Q ) ) ) )
499, 11hlatjcom 34164 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  =  ( ( G `  P ) 
.\/  P ) )
5031, 20, 33, 49syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  =  ( ( G `  P ) 
.\/  P ) )
519, 11hlatjcom 34164 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( G `  Q )  e.  A )  -> 
( Q  .\/  ( G `  Q )
)  =  ( ( G `  Q ) 
.\/  Q ) )
5231, 21, 39, 51syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( Q  .\/  ( G `  Q )
)  =  ( ( G `  Q ) 
.\/  Q ) )
5350, 52oveq12d 6300 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( Q  .\/  ( G `  Q
) ) )  =  ( ( ( G `
 P )  .\/  P )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q ) ) )
5448, 53eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R `  G
)  =  ( ( ( G `  P
)  .\/  P )  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q
) ) )
5545, 54oveq12d 6300 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  =  ( ( ( ( F `  ( G `  P ) )  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( ( F `
 ( G `  Q ) )  .\/  ( G `  Q ) ) )  .\/  (
( ( G `  P )  .\/  P
)  ./\  ( ( G `  Q )  .\/  Q ) ) ) )
5615, 55breqtrrd 4473 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( (
( F `  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  Q
) ) )  =/=  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  F )  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  ( R `  G )  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( F `  ( G `  Q )
) ) )  .<_  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   lecple 14558   joincjn 15427   meetcmee 15428   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   trLctrl 34954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-map 7419  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955
This theorem is referenced by:  cdlemg10  35437
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