Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemeg46req Structured version   Unicode version

Theorem cdlemeg46req 34455
Description: TODO FIX COMMENT r = (v1  \/ g(s)) p. 116 3rd line. (Contributed by NM, 3-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46g.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemef46g.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemef46g.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemef46g.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemef46g.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemef46g.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemef46g.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdlemef46g.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs46g.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemef46g.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
cdlemef46.v  |-  V  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  W )
cdlemef46.n  |-  N  =  ( ( v  .\/  V )  ./\  ( P  .\/  ( ( Q  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdlemefs46.o  |-  O  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  ( N  .\/  ( ( u  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdlemef46.g  |-  G  =  ( a  e.  B  |->  if ( ( Q  =/=  P  /\  -.  a  .<_  W ) ,  ( iota_ c  e.  B  A. u  e.  A  ( ( -.  u  .<_  W  /\  ( u 
.\/  ( a  ./\  W ) )  =  a )  ->  c  =  ( if ( u  .<_  ( Q  .\/  P ) ,  ( iota_ b  e.  B  A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  P ) )  ->  b  =  O ) ) ,  [_ u  /  v ]_ N
)  .\/  ( a  ./\  W ) ) ) ) ,  a ) )
cdlemeg46.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  ( G `  S ) )  ./\  W )
cdlemeg46.x  |-  X  =  ( ( ( F `
 R )  .\/  S )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemeg46req  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( ( G `  S )  .\/  X ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z    D, s, x, y, z   
x, E, y, z    H, s, t, x, y, z    .\/ , s, t, x, y, z    K, s, t, x, y, z    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s, t, x, y, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    R, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    S, s, t, x, y, z    a, b, c, u, v, A    B, a, b, c, u, v    v, D    G, s, t, x, y, z    H, a, b, c, u, v    .\/ , a, b, c, u, v    K, a, b, c, u, v    .<_ , a, b, c, u, v    ./\ , a, b, c, u, v    N, a, b, c    O, a, b, c    P, a, b, c, u, v    Q, a, b, c, u, v    R, a, b, c, u, v    S, a, b, c, u, v    V, a, b, c    W, a, b, c, u, v   
x, u, y, z, N    x, O, y, z    v, t    u, V    x, v, y, z, V    D, a, b, c    E, a, b, c    F, a, b, c, u, v   
t, N    U, a,
b, c, v    t, V    s, a, t, b, c    Y, s, t, x, z
Allowed substitution hints:    D( u, t)    U( u)    E( v, u, t, s)    F( x, y, z, t, s)    G( v, u, a, b, c)    N( v, s)    O( v, u, t, s)    V( s)    X( x, y, z, v, u, t, s, a, b, c)    Y( y, v, u, a, b, c)

Proof of Theorem cdlemeg46req
StepHypRef Expression
1 simp11l 1099 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp12l 1101 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
3 simp13l 1103 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  A )
4 simp21 1021 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  =/=  Q )
5 cdlemef46g.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemef46g.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 eqid 2450 . . . 4  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
85, 6, 7llni2 33438 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
LLines `  K ) )
91, 2, 3, 4, 8syl31anc 1222 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
LLines `  K ) )
10 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
11 simp23 1023 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
12 cdlemef46g.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
13 cdlemef46g.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 cdlemef46g.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
15 cdlemef46g.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
16 cdlemef46g.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
17 cdlemef46g.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
18 cdlemefs46g.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
19 cdlemef46g.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
20 cdlemef46.v . . . . . 6  |-  V  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  W )
21 cdlemef46.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( v  .\/  V )  ./\  ( P  .\/  ( ( Q  .\/  v )  ./\  W
) ) )
22 cdlemefs46.o . . . . . 6  |-  O  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  ( N  .\/  ( ( u  .\/  v )  ./\  W
) ) )
23 cdlemef46.g . . . . . 6  |-  G  =  ( a  e.  B  |->  if ( ( Q  =/=  P  /\  -.  a  .<_  W ) ,  ( iota_ c  e.  B  A. u  e.  A  ( ( -.  u  .<_  W  /\  ( u 
.\/  ( a  ./\  W ) )  =  a )  ->  c  =  ( if ( u  .<_  ( Q  .\/  P ) ,  ( iota_ b  e.  B  A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  P ) )  ->  b  =  O ) ) ,  [_ u  /  v ]_ N
)  .\/  ( a  ./\  W ) ) ) ) ,  a ) )
2412, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23cdlemeg46fvaw 34442 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( ( G `  S )  e.  A  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W ) )
2510, 11, 4, 24syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( G `  S )  e.  A  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W ) )
2625simpld 459 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( G `  S )  e.  A
)
27 simp11 1018 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
28 simp22 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
2912, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19cdleme46fvaw 34427 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  R )  e.  A  /\  -.  ( F `  R )  .<_  W ) )
3010, 28, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( F `  R )  e.  A  /\  -.  ( F `  R )  .<_  W ) )
31 simp23l 1109 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  S  e.  A )
32 simp3l 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3312, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19cdleme46fsvlpq 34431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( F `  R )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3410, 4, 28, 32, 33syl121anc 1224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( F `  R )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
35 simp3r 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
36 nbrne2 4394 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  R
)  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( F `  R )  =/=  S )
3734, 35, 36syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( F `  R )  =/=  S
)
38 cdlemeg46.x . . . . 5  |-  X  =  ( ( ( F `
 R )  .\/  S )  ./\  W )
3913, 5, 14, 6, 15, 38lhpat2 33971 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( F `
 R )  e.  A  /\  -.  ( F `  R )  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  ( F `  R )  =/=  S ) )  ->  X  e.  A
)
4027, 30, 31, 37, 39syl112anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  X  e.  A )
41 hllat 33290 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
421, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4330simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( F `  R )  e.  A
)
4412, 5, 6hlatjcl 33293 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  R )  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  (
( F `  R
)  .\/  S )  e.  B )
451, 43, 31, 44syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( F `  R )  .\/  S )  e.  B
)
46 simp11r 1100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  W  e.  H )
4712, 15lhpbase 33924 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
4846, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  W  e.  B )
4912, 13, 14latmle2 15335 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  R )  .\/  S
)  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( ( F `
 R )  .\/  S )  ./\  W )  .<_  W )
5042, 45, 48, 49syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( (
( F `  R
)  .\/  S )  ./\  W )  .<_  W )
5138, 50syl5eqbr 4409 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  X  .<_  W )
5225simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  ( G `  S )  .<_  W )
53 nbrne2 4394 . . . . 5  |-  ( ( X  .<_  W  /\  -.  ( G `  S
)  .<_  W )  ->  X  =/=  ( G `  S ) )
5451, 52, 53syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  X  =/=  ( G `  S ) )
5554necomd 2716 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( G `  S )  =/=  X
)
565, 6, 7llni2 33438 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  S
)  e.  A  /\  X  e.  A )  /\  ( G `  S
)  =/=  X )  ->  ( ( G `
 S )  .\/  X )  e.  ( LLines `  K ) )
571, 26, 40, 55, 56syl31anc 1222 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( G `  S )  .\/  X )  e.  (
LLines `  K ) )
58 simp22l 1107 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  e.  A )
5913, 5, 6hlatlej1 33301 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  S )  e.  A  /\  X  e.  A )  ->  ( G `  S )  .<_  ( ( G `  S )  .\/  X
) )
601, 26, 40, 59syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( G `  S )  .<_  ( ( G `  S ) 
.\/  X ) )
6112, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23cdlemeg46nlpq 34443 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  ( G `  S ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) )
6210, 4, 11, 35, 61syl121anc 1224 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  ( G `  S )  .<_  ( P  .\/  Q
) )
63 nbrne1 4393 . . . 4  |-  ( ( ( G `  S
)  .<_  ( ( G `
 S )  .\/  X )  /\  -.  ( G `  S )  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( G `  S
)  .\/  X )  =/=  ( P  .\/  Q
) )
6460, 62, 63syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( G `  S )  .\/  X )  =/=  ( P  .\/  Q ) )
6564necomd 2716 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =/=  (
( G `  S
)  .\/  X )
)
66 cdlemeg46.y . . . 4  |-  Y  =  ( ( R  .\/  ( G `  S ) )  ./\  W )
6712, 13, 5, 14, 6, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 66, 38cdlemeg46rgv 34454 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( ( G `  S
)  .\/  X )
)
6812, 6atbase 33216 . . . . 5  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  B )
6958, 68syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  e.  B )
7012, 5, 6hlatjcl 33293 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  B )
711, 2, 3, 70syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  B
)
7212, 5, 6hlatjcl 33293 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  S )  e.  A  /\  X  e.  A )  ->  (
( G `  S
)  .\/  X )  e.  B )
731, 26, 40, 72syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( G `  S )  .\/  X )  e.  B
)
7412, 13, 14latlem12 15336 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  B  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  B  /\  ( ( G `  S )  .\/  X
)  e.  B ) )  ->  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( ( G `  S
)  .\/  X )
)  <->  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( ( G `
 S )  .\/  X ) ) ) )
7542, 69, 71, 73, 74syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  .<_  ( ( G `  S
)  .\/  X )
)  <->  R  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( ( G `
 S )  .\/  X ) ) ) )
7632, 67, 75mpbi2and 912 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( ( G `  S )  .\/  X ) ) )
7713, 14, 6, 72llnmeqat 33497 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( P  .\/  Q )  e.  ( LLines `  K )  /\  (
( G `  S
)  .\/  X )  e.  ( LLines `  K )  /\  R  e.  A
)  /\  ( ( P  .\/  Q )  =/=  ( ( G `  S )  .\/  X
)  /\  R  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( ( G `  S )  .\/  X ) ) ) )  ->  R  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( ( G `  S )  .\/  X ) ) )
781, 9, 57, 58, 65, 76, 77syl132anc 1237 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( ( G `  S )  .\/  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   A.wral 2792   [_csb 3372   ifcif 3875   class class class wbr 4376    |-> cmpt 4434   ` cfv 5502   iota_crio 6136  (class class class)co 6176   Basecbs 14262   lecple 14333   joincjn 15202   meetcmee 15203   Latclat 15303   Atomscatm 33190   HLchlt 33277   LLinesclln 33417   LHypclh 33910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-riotaBAD 32886
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-undef 6878  df-poset 15204  df-plt 15216  df-lub 15232  df-glb 15233  df-join 15234  df-meet 15235  df-p0 15297  df-p1 15298  df-lat 15304  df-clat 15366  df-oposet 33103  df-ol 33105  df-oml 33106  df-covers 33193  df-ats 33194  df-atl 33225  df-cvlat 33249  df-hlat 33278  df-llines 33424  df-lplanes 33425  df-lvols 33426  df-lines 33427  df-psubsp 33429  df-pmap 33430  df-padd 33722  df-lhyp 33914
This theorem is referenced by:  cdlemeg46gfr  34457
  Copyright terms: Public domain W3C validator