Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemeg46frv Structured version   Unicode version

Theorem cdlemeg46frv 35196
Description: TODO FIX COMMENT (f(r)  \/ v2)  /\ w = v2 p. 116 3rd line. (Contributed by NM, 2-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46g.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemef46g.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemef46g.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemef46g.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemef46g.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemef46g.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemef46g.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdlemef46g.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs46g.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemef46g.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
cdlemef46.v  |-  V  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  W )
cdlemef46.n  |-  N  =  ( ( v  .\/  V )  ./\  ( P  .\/  ( ( Q  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdlemefs46.o  |-  O  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  ( N  .\/  ( ( u  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdlemef46.g  |-  G  =  ( a  e.  B  |->  if ( ( Q  =/=  P  /\  -.  a  .<_  W ) ,  ( iota_ c  e.  B  A. u  e.  A  ( ( -.  u  .<_  W  /\  ( u 
.\/  ( a  ./\  W ) )  =  a )  ->  c  =  ( if ( u  .<_  ( Q  .\/  P ) ,  ( iota_ b  e.  B  A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  P ) )  ->  b  =  O ) ) ,  [_ u  /  v ]_ N
)  .\/  ( a  ./\  W ) ) ) ) ,  a ) )
cdlemeg46.y  |-  Y  =  ( ( R  .\/  ( G `  S ) )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemeg46frv  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( (
( F `  R
)  .\/  Y )  ./\  W )  =  Y )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z    D, s, x, y, z   
x, E, y, z    H, s, t, x, y, z    .\/ , s, t, x, y, z    K, s, t, x, y, z    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s, t, x, y, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    R, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    S, s, t, x, y, z    a, b, c, u, v, A    B, a, b, c, u, v    v, D    G, s, t, x, y, z    H, a, b, c, u, v    .\/ , a, b, c, u, v    K, a, b, c, u, v    .<_ , a, b, c, u, v    ./\ , a, b, c, u, v    N, a, b, c    O, a, b, c    P, a, b, c, u, v    Q, a, b, c, u, v    R, a, b, c, u, v    S, a, b, c, u, v    V, a, b, c    W, a, b, c, u, v   
x, u, y, z, N    x, O, y, z    v, t    u, V    x, v, y, z, V    D, a, b, c    E, a, b, c    F, a, b, c, u, v   
t, N    U, a,
b, c, v    t, V    s, a, t, b, c    Y, s, t, x, z
Allowed substitution hints:    D( u, t)    U( u)    E( v, u, t, s)    F( x, y, z, t, s)    G( v, u, a, b, c)    N( v, s)    O( v, u, t, s)    V( s)    Y( y, v, u, a, b, c)

Proof of Theorem cdlemeg46frv
StepHypRef Expression
1 simp11 1021 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
3 simp22 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
4 cdlemef46g.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cdlemef46g.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemef46g.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 cdlemef46g.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
8 cdlemef46g.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 cdlemef46g.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 cdlemef46g.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
11 cdlemef46g.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
12 cdlemefs46g.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
13 cdlemef46g.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme46fvaw 35172 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  R )  e.  A  /\  -.  ( F `  R )  .<_  W ) )
152, 3, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( F `  R )  e.  A  /\  -.  ( F `  R )  .<_  W ) )
16 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
175, 7, 16, 8, 9lhpmat 34701 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( F `
 R )  e.  A  /\  -.  ( F `  R )  .<_  W ) )  -> 
( ( F `  R )  ./\  W
)  =  ( 0.
`  K ) )
181, 15, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( F `  R )  ./\  W )  =  ( 0. `  K ) )
1918oveq1d 6290 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( (
( F `  R
)  ./\  W )  .\/  Y )  =  ( ( 0. `  K
)  .\/  Y )
)
20 simp11l 1102 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
2115simpld 459 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( F `  R )  e.  A
)
22 simp22l 1110 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  R  e.  A )
23 simp23 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
24 simp21 1024 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  P  =/=  Q )
25 cdlemef46.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  W )
26 cdlemef46.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( ( v  .\/  V )  ./\  ( P  .\/  ( ( Q  .\/  v )  ./\  W
) ) )
27 cdlemefs46.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( ( Q  .\/  P )  ./\  ( N  .\/  ( ( u  .\/  v )  ./\  W
) ) )
28 cdlemef46.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( a  e.  B  |->  if ( ( Q  =/=  P  /\  -.  a  .<_  W ) ,  ( iota_ c  e.  B  A. u  e.  A  ( ( -.  u  .<_  W  /\  ( u 
.\/  ( a  ./\  W ) )  =  a )  ->  c  =  ( if ( u  .<_  ( Q  .\/  P ) ,  ( iota_ b  e.  B  A. v  e.  A  ( ( -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( Q 
.\/  P ) )  ->  b  =  O ) ) ,  [_ u  /  v ]_ N
)  .\/  ( a  ./\  W ) ) ) ) ,  a ) )
294, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 25, 26, 27, 28cdlemeg46fvaw 35187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( ( G `  S )  e.  A  /\  -.  ( G `  S )  .<_  W ) )
3029simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( G `  S )  e.  A
)
312, 23, 24, 30syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( G `  S )  e.  A
)
32 cdlemeg46.y . . . . 5  |-  Y  =  ( ( R  .\/  ( G `  S ) )  ./\  W )
335, 6, 7, 8, 9, 32, 4cdleme0aa 34881 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  R  e.  A  /\  ( G `  S
)  e.  A )  ->  Y  e.  B
)
341, 22, 31, 33syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  Y  e.  B )
35 simp11r 1103 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  W  e.  H )
364, 9lhpbase 34669 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
3735, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  W  e.  B )
38 hllat 34035 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3920, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  Lat )
404, 6, 8hlatjcl 34038 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  ( G `  S )  e.  A )  -> 
( R  .\/  ( G `  S )
)  e.  B )
4120, 22, 31, 40syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( R  .\/  ( G `  S
) )  e.  B
)
424, 5, 7latmle2 15553 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  ( G `
 S ) )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( R  .\/  ( G `  S )
)  ./\  W )  .<_  W )
4339, 41, 37, 42syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( R  .\/  ( G `  S ) )  ./\  W )  .<_  W )
4432, 43syl5eqbr 4473 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  Y  .<_  W )
454, 5, 6, 7, 8atmod4i2 34538 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  R )  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B
)  /\  Y  .<_  W )  ->  ( (
( F `  R
)  ./\  W )  .\/  Y )  =  ( ( ( F `  R )  .\/  Y
)  ./\  W )
)
4620, 21, 34, 37, 44, 45syl131anc 1236 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( (
( F `  R
)  ./\  W )  .\/  Y )  =  ( ( ( F `  R )  .\/  Y
)  ./\  W )
)
47 hlol 34033 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
4820, 47syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  K  e.  OL )
494, 6, 16olj02 33898 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( 0. `  K )  .\/  Y
)  =  Y )
5048, 34, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( ( 0. `  K )  .\/  Y )  =  Y )
5119, 46, 503eqtr3d 2509 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  ( (
( F `  R
)  .\/  Y )  ./\  W )  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   [_csb 3428   ifcif 3932   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579   iota_crio 6235  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   joincjn 15420   meetcmee 15421   0.cp0 15513   Latclat 15521   OLcol 33846   Atomscatm 33935   HLchlt 34022   LHypclh 34655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-undef 6992  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659
This theorem is referenced by:  cdlemeg46v1v2  35197
  Copyright terms: Public domain W3C validator