Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefs32sn1aw Structured version   Unicode version

Theorem cdlemefs32sn1aw 33690
Description: Show that  [_ R  /  s ]_ N is an atom not under  W when  R  .<_  ( P 
.\/  Q ). (Contributed by NM, 24-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefs32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemefs32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemefs32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemefs32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemefs32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemefs32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemefs32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdlemefs32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdlemefs32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdlemefs32a1.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs32a1.z  |-  Z  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemefs32sn1aw  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  /  s ]_ N  .<_  W ) )
Distinct variable groups:    t, s,
y, A    B, s,
t, y    y, D    y, E    H, s, t, y    .\/ , s, t, y    K, s, t, y    .<_ , s, t, y    ./\ , s, t, y    P, s, t, y    Q, s, t, y    R, s, t, y    t, U, y    W, s, t, y   
y, Y    D, s
Allowed substitution hints:    C( y, t, s)    D( t)    U( s)    E( t, s)    I( y, t, s)    N( y, t, s)    Y( t, s)    Z( y, t, s)

Proof of Theorem cdlemefs32sn1aw
StepHypRef Expression
1 cdlemefs32.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 fvex 5891 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
31, 2eqeltri 2513 . . 3  |-  B  e. 
_V
4 nfv 1754 . . . 4  |-  F/ t ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5 cdlemefs32a1.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
6 nfra1 2813 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y )
7 nfcv 2591 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t B
86, 7nfriota 6276 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
95, 8nfcxfr 2589 . . . . . . 7  |-  F/_ t Z
109nfel1 2607 . . . . . 6  |-  F/ t  Z  e.  A
11 nfcv 2591 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  .<_
12 nfcv 2591 . . . . . . . 8  |-  F/_ t W
139, 11, 12nfbr 4470 . . . . . . 7  |-  F/ t  Z  .<_  W
1413nfn 1958 . . . . . 6  |-  F/ t  -.  Z  .<_  W
1510, 14nfan 1986 . . . . 5  |-  F/ t ( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  F/ t
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) )
175a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Z  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) ) )
18 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( Y  =  Z  ->  ( Y  e.  A  <->  Z  e.  A ) )
19 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  Z  ->  ( Y  .<_  W  <->  Z  .<_  W ) )
2019notbid 295 . . . . . 6  |-  ( Y  =  Z  ->  ( -.  Y  .<_  W  <->  -.  Z  .<_  W ) )
2118, 20anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( Y  =  Z  ->  (
( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W )  <-> 
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) ) )
2221adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  Y  =  Z )  ->  (
( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W )  <-> 
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) ) )
23 simpl1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
24 simpl2r 1059 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
25 simprl 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  t  e.  A )
26 simprrl 772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  W )
2725, 26jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
28 simpl2l 1058 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
29 simpl3 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
30 simprrr 773 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
31 cdlemefs32.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
32 cdlemefs32.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
33 cdlemefs32.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
34 cdlemefs32.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
35 cdlemefs32.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
36 cdlemefs32.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
37 cdlemefs32.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
38 cdlemefs32a1.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
3931, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38cdleme7ga 33523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Y  e.  A )
4031, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38cdleme7 33524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  Y  .<_  W )
4139, 40jca 534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W ) )
4223, 24, 27, 28, 29, 30, 41syl123anc 1281 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W ) )
4342ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W ) ) )
44 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
45 simp2rl 1074 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  e.  A )
46 simp2rr 1075 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  -.  R  .<_  W )
47 simp2l 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  =/=  Q )
48 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
491, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 5cdleme25cl 33633 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Z  e.  B )
5044, 45, 46, 47, 48, 49syl122anc 1273 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Z  e.  B )
51 simp11 1035 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52 simp12 1036 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
53 simp13 1037 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
5431, 32, 34, 35cdlemb2 33315 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
5551, 52, 53, 47, 54syl121anc 1269 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
564, 16, 17, 22, 43, 50, 55riotasv3d 32241 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  B  e. 
_V )  ->  ( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) )
573, 56mpan2 675 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) )
58 cdlemefs32.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
59 cdlemefs32.i . . . . . 6  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
60 cdlemefs32.n . . . . . 6  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
6158, 59, 60, 38, 5cdleme31sn1c 33664 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  A  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =  Z )
6245, 48, 61syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  [_ R  / 
s ]_ N  =  Z )
6362eleq1d 2498 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  <->  Z  e.  A
) )
6462breq1d 4436 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  .<_  W  <->  Z  .<_  W ) )
6564notbid 295 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( -.  [_ R  /  s ]_ N  .<_  W  <->  -.  Z  .<_  W ) )
6663, 65anbi12d 715 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  / 
s ]_ N  .<_  W )  <-> 
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) ) )
6757, 66mpbird 235 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  /  s ]_ N  .<_  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   F/wnf 1663    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   [_csb 3401   ifcif 3915   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   lecple 15159   joincjn 16140   meetcmee 16141   Atomscatm 32538   HLchlt 32625   LHypclh 33258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-undef 7028  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262
This theorem is referenced by:  cdlemefs32snb  33691  cdleme32sn1awN  33708  cdleme32snaw  33711
  Copyright terms: Public domain W3C validator