Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefs32sn1aw Structured version   Unicode version

Theorem cdlemefs32sn1aw 34416
Description: Show that  [_ R  /  s ]_ N is an atom not under  W when  R  .<_  ( P 
.\/  Q ). (Contributed by NM, 24-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefs32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemefs32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemefs32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemefs32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemefs32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemefs32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemefs32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdlemefs32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdlemefs32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdlemefs32a1.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs32a1.z  |-  Z  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemefs32sn1aw  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  /  s ]_ N  .<_  W ) )
Distinct variable groups:    t, s,
y, A    B, s,
t, y    y, D    y, E    H, s, t, y    .\/ , s, t, y    K, s, t, y    .<_ , s, t, y    ./\ , s, t, y    P, s, t, y    Q, s, t, y    R, s, t, y    t, U, y    W, s, t, y   
y, Y    D, s
Allowed substitution hints:    C( y, t, s)    D( t)    U( s)    E( t, s)    I( y, t, s)    N( y, t, s)    Y( t, s)    Z( y, t, s)

Proof of Theorem cdlemefs32sn1aw
StepHypRef Expression
1 cdlemefs32.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 fvex 5812 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
31, 2eqeltri 2538 . . 3  |-  B  e. 
_V
4 nfv 1674 . . . 4  |-  F/ t ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5 cdlemefs32a1.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
6 nfra1 2810 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y )
7 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t B
86, 7nfriota 6173 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
95, 8nfcxfr 2614 . . . . . . 7  |-  F/_ t Z
109nfel1 2632 . . . . . 6  |-  F/ t  Z  e.  A
11 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  .<_
12 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ t W
139, 11, 12nfbr 4447 . . . . . . 7  |-  F/ t  Z  .<_  W
1413nfn 1840 . . . . . 6  |-  F/ t  -.  Z  .<_  W
1510, 14nfan 1866 . . . . 5  |-  F/ t ( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  F/ t
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) )
175a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Z  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) ) )
18 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( Y  =  Z  ->  ( Y  e.  A  <->  Z  e.  A ) )
19 breq1 4406 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  Z  ->  ( Y  .<_  W  <->  Z  .<_  W ) )
2019notbid 294 . . . . . 6  |-  ( Y  =  Z  ->  ( -.  Y  .<_  W  <->  -.  Z  .<_  W ) )
2118, 20anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( Y  =  Z  ->  (
( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W )  <-> 
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) ) )
2221adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  Y  =  Z )  ->  (
( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W )  <-> 
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) ) )
23 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
24 simpl2r 1042 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
25 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  t  e.  A )
26 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  W )
2725, 26jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
28 simpl2l 1041 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
29 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
30 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
31 cdlemefs32.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
32 cdlemefs32.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
33 cdlemefs32.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
34 cdlemefs32.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
35 cdlemefs32.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
36 cdlemefs32.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
37 cdlemefs32.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
38 cdlemefs32a1.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
3931, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38cdleme7ga 34250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Y  e.  A )
4031, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38cdleme7 34251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  Y  .<_  W )
4139, 40jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W ) )
4223, 24, 27, 28, 29, 30, 41syl123anc 1236 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W ) )
4342ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W ) ) )
44 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
45 simp2rl 1057 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  e.  A )
46 simp2rr 1058 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  -.  R  .<_  W )
47 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  =/=  Q )
48 simp3 990 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
491, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 5cdleme25cl 34359 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Z  e.  B )
5044, 45, 46, 47, 48, 49syl122anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Z  e.  B )
51 simp11 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52 simp12 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
53 simp13 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
5431, 32, 34, 35cdlemb2 34043 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
5551, 52, 53, 47, 54syl121anc 1224 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
564, 16, 17, 22, 43, 50, 55riotasv3d 32969 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  B  e. 
_V )  ->  ( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) )
573, 56mpan2 671 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) )
58 cdlemefs32.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
59 cdlemefs32.i . . . . . 6  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
60 cdlemefs32.n . . . . . 6  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
6158, 59, 60, 38, 5cdleme31sn1c 34390 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  A  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =  Z )
6245, 48, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  [_ R  / 
s ]_ N  =  Z )
6362eleq1d 2523 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  <->  Z  e.  A
) )
6462breq1d 4413 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  .<_  W  <->  Z  .<_  W ) )
6564notbid 294 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( -.  [_ R  /  s ]_ N  .<_  W  <->  -.  Z  .<_  W ) )
6663, 65anbi12d 710 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  / 
s ]_ N  .<_  W )  <-> 
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) ) )
6757, 66mpbird 232 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  /  s ]_ N  .<_  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   [_csb 3398   ifcif 3902   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   iota_crio 6163  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   lecple 14367   joincjn 15236   meetcmee 15237   Atomscatm 33266   HLchlt 33353   LHypclh 33986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-riotaBAD 32962
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-undef 6905  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-llines 33500  df-lplanes 33501  df-lvols 33502  df-lines 33503  df-psubsp 33505  df-pmap 33506  df-padd 33798  df-lhyp 33990
This theorem is referenced by:  cdlemefs32snb  34417  cdleme32sn1awN  34434  cdleme32snaw  34437
  Copyright terms: Public domain W3C validator