Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefs32sn1aw Structured version   Unicode version

Theorem cdlemefs32sn1aw 35566
Description: Show that  [_ R  /  s ]_ N is an atom not under  W when  R  .<_  ( P 
.\/  Q ). (Contributed by NM, 24-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefs32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemefs32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemefs32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemefs32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemefs32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemefs32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemefs32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdlemefs32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdlemefs32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdlemefs32a1.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs32a1.z  |-  Z  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemefs32sn1aw  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  /  s ]_ N  .<_  W ) )
Distinct variable groups:    t, s,
y, A    B, s,
t, y    y, D    y, E    H, s, t, y    .\/ , s, t, y    K, s, t, y    .<_ , s, t, y    ./\ , s, t, y    P, s, t, y    Q, s, t, y    R, s, t, y    t, U, y    W, s, t, y   
y, Y    D, s
Allowed substitution hints:    C( y, t, s)    D( t)    U( s)    E( t, s)    I( y, t, s)    N( y, t, s)    Y( t, s)    Z( y, t, s)

Proof of Theorem cdlemefs32sn1aw
StepHypRef Expression
1 cdlemefs32.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 fvex 5882 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
31, 2eqeltri 2551 . . 3  |-  B  e. 
_V
4 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ t ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
5 cdlemefs32a1.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
6 nfra1 2848 . . . . . . . . 9  |-  F/ t A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y )
7 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t B
86, 7nfriota 6265 . . . . . . . 8  |-  F/_ t
( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
95, 8nfcxfr 2627 . . . . . . 7  |-  F/_ t Z
109nfel1 2645 . . . . . 6  |-  F/ t  Z  e.  A
11 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ t  .<_
12 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ t W
139, 11, 12nfbr 4497 . . . . . . 7  |-  F/ t  Z  .<_  W
1413nfn 1849 . . . . . 6  |-  F/ t  -.  Z  .<_  W
1510, 14nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ t ( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  F/ t
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) )
175a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Z  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) ) )
18 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( Y  =  Z  ->  ( Y  e.  A  <->  Z  e.  A ) )
19 breq1 4456 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  Z  ->  ( Y  .<_  W  <->  Z  .<_  W ) )
2019notbid 294 . . . . . 6  |-  ( Y  =  Z  ->  ( -.  Y  .<_  W  <->  -.  Z  .<_  W ) )
2118, 20anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( Y  =  Z  ->  (
( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W )  <-> 
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) ) )
2221adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  Y  =  Z )  ->  (
( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W )  <-> 
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) ) )
23 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
24 simpl2r 1050 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
25 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  t  e.  A )
26 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  W )
2725, 26jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
28 simpl2l 1049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
29 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
30 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
31 cdlemefs32.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
32 cdlemefs32.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
33 cdlemefs32.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
34 cdlemefs32.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
35 cdlemefs32.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
36 cdlemefs32.u . . . . . . . 8  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
37 cdlemefs32.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
38 cdlemefs32a1.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
3931, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38cdleme7ga 35400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Y  e.  A )
4031, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38cdleme7 35401 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  Y  .<_  W )
4139, 40jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W ) )
4223, 24, 27, 28, 29, 30, 41syl123anc 1245 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W ) )
4342ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( Y  e.  A  /\  -.  Y  .<_  W ) ) )
44 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
45 simp2rl 1065 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  e.  A )
46 simp2rr 1066 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  -.  R  .<_  W )
47 simp2l 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  =/=  Q )
48 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
491, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 5cdleme25cl 35509 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Z  e.  B )
5044, 45, 46, 47, 48, 49syl122anc 1237 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Z  e.  B )
51 simp11 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52 simp12 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
53 simp13 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
5431, 32, 34, 35cdlemb2 35193 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
5551, 52, 53, 47, 54syl121anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
564, 16, 17, 22, 43, 50, 55riotasv3d 34119 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  B  e. 
_V )  ->  ( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) )
573, 56mpan2 671 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) )
58 cdlemefs32.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
59 cdlemefs32.i . . . . . 6  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
60 cdlemefs32.n . . . . . 6  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
6158, 59, 60, 38, 5cdleme31sn1c 35540 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  A  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =  Z )
6245, 48, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  [_ R  / 
s ]_ N  =  Z )
6362eleq1d 2536 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  <->  Z  e.  A
) )
6462breq1d 4463 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  .<_  W  <->  Z  .<_  W ) )
6564notbid 294 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( -.  [_ R  /  s ]_ N  .<_  W  <->  -.  Z  .<_  W ) )
6663, 65anbi12d 710 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  / 
s ]_ N  .<_  W )  <-> 
( Z  e.  A  /\  -.  Z  .<_  W ) ) )
6757, 66mpbird 232 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( [_ R  /  s ]_ N  e.  A  /\  -.  [_ R  /  s ]_ N  .<_  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   [_csb 3440   ifcif 3945   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   iota_crio 6255  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   lecple 14579   joincjn 15448   meetcmee 15449   Atomscatm 34416   HLchlt 34503   LHypclh 35136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-riotaBAD 34112
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-undef 7014  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-oposet 34329  df-ol 34331  df-oml 34332  df-covers 34419  df-ats 34420  df-atl 34451  df-cvlat 34475  df-hlat 34504  df-llines 34650  df-lplanes 34651  df-lvols 34652  df-lines 34653  df-psubsp 34655  df-pmap 34656  df-padd 34948  df-lhyp 35140
This theorem is referenced by:  cdlemefs32snb  35567  cdleme32sn1awN  35584  cdleme32snaw  35587
  Copyright terms: Public domain W3C validator