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Theorem cdlemefrs29bpre0 35548
Description: TODO fix comment. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs27.b |- B = ( Base ` K )
cdlemefrs27.l |- .<_ = ( le ` K )
cdlemefrs27.j |- .\/ = ( join ` K )
cdlemefrs27.m |- ./\ = ( meet ` K )
cdlemefrs27.a |- A = ( Atoms ` K )
cdlemefrs27.h |- H = ( LHyp ` K )
cdlemefrs27.eq |- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
cdlemefrs27.nb |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs29bpre0 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
Distinct variable groups:   z, s   A, s   H, s   .\/ , s   K, s   .<_ , s   P, s   Q, s   R, s   W, s   ps, s
Allowed substitution hints:   ph( z, s)   ps( z)   A( z)   B( z, s)   P( z)   Q( z)   R( z)   H( z)   .\/ ( z)   K( z)   .<_ ( z)   ./\ ( z, s)   N( z, s)   W( z)
Proof of Theorem cdlemefrs29bpre0
StepHypRef Expression
1 df-ral 2822 . . 3 |- ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> A. s ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
2 anass 649 . . . . . . 7 |- ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) <-> ( s e. A /\ ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) )
32imbi1i 325 . . . . . 6 |- ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) )
4 impexp 446 . . . . . 6 |- ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
5 impexp 446 . . . . . 6 |- ( ( ( s e. A /\ ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
63, 4, 53bitr3ri 276 . . . . 5 |- ( ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
7 simpl11 1071 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 simpl2r 1050 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
9 cdlemefrs27.l . . . . . . . . . . . . 13 |- .<_ = ( le ` K )
10 cdlemefrs27.m . . . . . . . . . . . . 13 |- ./\ = ( meet ` K )
11 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
12 cdlemefrs27.a . . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( Atoms ` K )
13 cdlemefrs27.h . . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( LHyp ` K )
149, 10, 11, 12, 13lhpmat 35182 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
157, 8, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
1615oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = ( s .\/ ( 0. ` K ) ) )
17 simp11l 1107 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> K e. HL )
18 hlol 34514 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. HL -> K e. OL )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> K e. OL )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> K e. OL )
21 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> s e. A )
22 cdlemefrs27.b . . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` K )
2322, 12atbase 34442 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. A -> s e. B )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> s e. B )
25 cdlemefrs27.j . . . . . . . . . . . 12 |- .\/ = ( join ` K )
2622, 25, 11olj01 34378 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OL /\ s e. B ) -> ( s .\/ ( 0. ` K ) ) = s )
2720, 24, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( s .\/ ( 0. ` K ) ) = s )
2816, 27eqtrd 2508 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = s )
2928eqeq1d 2469 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R <-> s = R ) )
3015oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( N .\/ ( R ./\ W ) ) = ( N .\/ ( 0. ` K ) ) )
31 simpl1 999 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
32 simpl2l 1049 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> P =/= Q )
33 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( -. s .<_ W /\ ph ) )
34 cdlemefrs27.nb . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
3531, 32, 21, 33, 34syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
3622, 25, 11olj01 34378 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OL /\ N e. B ) -> ( N .\/ ( 0. ` K ) ) = N )
3720, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( N .\/ ( 0. ` K ) ) = N )
3830, 37eqtrd 2508 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( N .\/ ( R ./\ W ) ) = N )
3938eqeq2d 2481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) <-> z = N ) )
4029, 39imbi12d 320 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( s = R -> z = N ) ) )
4140pm5.74da 687 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( s = R -> z = N ) ) ) )
42 impexp 446 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) -> z = N ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( s = R -> z = N ) ) )
43 eqcom 2476 . . . . . . . . 9 |- ( z = N <-> N = z )
4443imbi2i 312 . . . . . . . 8 |- ( ( s = R -> z = N ) <-> ( s = R -> N = z ) )
45 simp2rl 1065 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> R e. A )
46 simp2rr 1066 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> -. R .<_ W )
47 simp3 998 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ps )
48 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = R -> ( s e. A <-> R e. A ) )
49 breq1 4456 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = R -> ( s .<_ W <-> R .<_ W ) )
5049notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = R -> ( -. s .<_ W <-> -. R .<_ W ) )
51 cdlemefrs27.eq . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
5250, 51anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = R -> ( ( -. s .<_ W /\ ph ) <-> ( -. R .<_ W /\ ps ) ) )
5348, 52anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = R -> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) <-> ( R e. A /\ ( -. R .<_ W /\ ps ) ) ) )
5453biimprcd 225 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. A /\ ( -. R .<_ W /\ ps ) ) -> ( s = R -> ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) )
5545, 46, 47, 54syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( s = R -> ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) )
5655pm4.71rd 635 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( s = R <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) ) )
5756imbi1d 317 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( s = R -> z = N ) <-> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) -> z = N ) ) )
5844, 57syl5rbbr 260 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) -> z = N ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
5942, 58syl5bbr 259 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( s = R -> z = N ) ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
6041, 59bitrd 253 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
616, 60syl5bb 257 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
6261albidv 1689 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> A. s ( s = R -> N = z ) ) )
631, 62syl5bb 257 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> A. s ( s = R -> N = z ) ) )
64 nfcv 2629 . . . . 5 |- F/_ s z
6564csbiebg 3463 . . . 4 |- ( R e. A -> ( A. s ( s = R -> N = z ) <-> [_ R / s ]_ N = z ) )
6645, 65syl 16 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s ( s = R -> N = z ) <-> [_ R / s ]_ N = z ) )
67 eqcom 2476 . . 3 |- ( [_ R / s ]_ N = z <-> z = [_ R / s ]_ N )
6866, 67syl6bb 261 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s ( s = R -> N = z ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
6963, 68bitrd 253 1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   [_csb 3440   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   lecple 14579   joincjn 15448   meetcmee 15449   0.cp0 15541   OLcol 34327   Atomscatm 34416   HLchlt 34503   LHypclh 35136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-lat 15550  df-oposet 34329  df-ol 34331  df-oml 34332  df-covers 34419  df-ats 34420  df-atl 34451  df-cvlat 34475  df-hlat 34504  df-lhyp 35140
This theorem is referenced by:  cdlemefrs29bpre1  35549  cdlemefrs32fva  35552  cdlemefr29bpre0N  35558  cdlemefs29bpre0N  35568
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