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Theorem cdlemefrs29bpre0 33932
Description: TODO fix comment. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs27.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemefrs27.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemefrs27.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemefrs27.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemefrs27.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemefrs27.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemefrs27.eq  |-  ( s  =  R  ->  ( ph 
<->  ps ) )
cdlemefrs27.nb  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/=  Q  /\  (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  B )
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs29bpre0  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s  e.  A  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) )
Distinct variable groups:    z, s    A, s    H, s    .\/ , s    K, s    .<_ , s    P, s    Q, s    R, s    W, s    ps, s
Allowed substitution hints:    ph( z, s)    ps( z)    A( z)    B( z, s)    P( z)    Q( z)    R( z)    H( z)    .\/ ( z)    K( z)    .<_ ( z)    ./\ ( z,
s)    N( z, s)    W( z)

Proof of Theorem cdlemefrs29bpre0
StepHypRef Expression
1 df-ral 2776 . . 3  |-  ( A. s  e.  A  (
( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) )  <->  A. s
( s  e.  A  ->  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
2 anass 653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  <-> 
( s  e.  A  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R ) ) )
32imbi1i 326 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  (
s  .\/  ( R  ./\ 
W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R ) )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) )
4 impexp 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  (
s  .\/  ( R  ./\ 
W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
5 impexp 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  e.  A  /\  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R ) )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( s  e.  A  ->  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) ) )
63, 4, 53bitr3ri 279 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  A  -> 
( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
7 simpl11 1080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simpl2r 1059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
9 cdlemefrs27.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 cdlemefrs27.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ./\  =  ( meet `  K )
11 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
12 cdlemefrs27.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( Atoms `  K )
13 cdlemefrs27.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
149, 10, 11, 12, 13lhpmat 33564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  -> 
( R  ./\  W
)  =  ( 0.
`  K ) )
157, 8, 14syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( R  ./\ 
W )  =  ( 0. `  K ) )
1615oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( s  .\/  ( R  ./\  W
) )  =  ( s  .\/  ( 0.
`  K ) ) )
17 simp11l 1116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  K  e.  HL )
18 hlol 32896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  K  e.  OL )
2019adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  K  e.  OL )
21 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  s  e.  A )
22 cdlemefrs27.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  K
)
2322, 12atbase 32824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  B )
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  s  e.  B )
25 cdlemefrs27.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
2622, 25, 11olj01 32760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  s  e.  B )  ->  ( s  .\/  ( 0. `  K ) )  =  s )
2720, 24, 26syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( s  .\/  ( 0. `  K
) )  =  s )
2816, 27eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( s  .\/  ( R  ./\  W
) )  =  s )
2928eqeq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( (
s  .\/  ( R  ./\ 
W ) )  =  R  <->  s  =  R ) )
3015oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( N  .\/  ( R  ./\  W
) )  =  ( N  .\/  ( 0.
`  K ) ) )
31 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
32 simpl2l 1058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  P  =/=  Q )
33 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )
34 cdlemefrs27.nb . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/=  Q  /\  (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  B )
3531, 32, 21, 33, 34syl112anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  N  e.  B )
3622, 25, 11olj01 32760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  N  e.  B )  ->  ( N  .\/  ( 0. `  K ) )  =  N )
3720, 35, 36syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( N  .\/  ( 0. `  K
) )  =  N )
3830, 37eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( N  .\/  ( R  ./\  W
) )  =  N )
3938eqeq2d 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) )  <->  z  =  N ) )
4029, 39imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) )  ->  ( (
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) )
4140pm5.74da 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  (
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) ) )
42 impexp 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  s  =  R )  ->  z  =  N )  <->  ( (
s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) )
43 eqcom 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  N  <->  N  =  z )
4443imbi2i 313 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  R  -> 
z  =  N )  <-> 
( s  =  R  ->  N  =  z ) )
45 simp2rl 1074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  R  e.  A )
46 simp2rr 1075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  -.  R  .<_  W )
47 simp3 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ps )
48 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  R  ->  (
s  e.  A  <->  R  e.  A ) )
49 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  R  ->  (
s  .<_  W  <->  R  .<_  W ) )
5049notbid 295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  <->  -.  R  .<_  W ) )
51 cdlemefrs27.eq . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  R  ->  ( ph 
<->  ps ) )
5250, 51anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  R  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ph )  <->  ( -.  R  .<_  W  /\  ps ) ) )
5348, 52anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  R  ->  (
( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  <-> 
( R  e.  A  /\  ( -.  R  .<_  W  /\  ps ) ) ) )
5453biimprcd 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  A  /\  ( -.  R  .<_  W  /\  ps ) )  ->  ( s  =  R  ->  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) ) )
5545, 46, 47, 54syl12anc 1262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( s  =  R  ->  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) ) ) )
5655pm4.71rd 639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( s  =  R  <-> 
( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  s  =  R ) ) )
5756imbi1d 318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( s  =  R  ->  z  =  N )  <->  ( (
( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  s  =  R )  ->  z  =  N ) ) )
5844, 57syl5rbbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  /\  s  =  R )  ->  z  =  N )  <->  ( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
5942, 58syl5bbr 262 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  (
s  =  R  -> 
z  =  N ) )  <->  ( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
6041, 59bitrd 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ph ) )  ->  (
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
616, 60syl5bb 260 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( ( s  e.  A  ->  ( (
( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  <-> 
( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
6261albidv 1761 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s ( s  e.  A  -> 
( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) )  <->  A. s
( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
631, 62syl5bb 260 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s  e.  A  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  A. s ( s  =  R  ->  N  =  z ) ) )
64 nfcv 2580 . . . . 5  |-  F/_ s
z
6564csbiebg 3418 . . . 4  |-  ( R  e.  A  ->  ( A. s ( s  =  R  ->  N  =  z )  <->  [_ R  / 
s ]_ N  =  z ) )
6645, 65syl 17 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s ( s  =  R  ->  N  =  z )  <->  [_ R  /  s ]_ N  =  z )
)
67 eqcom 2431 . . 3  |-  ( [_ R  /  s ]_ N  =  z  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
)
6866, 67syl6bb 264 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s ( s  =  R  ->  N  =  z )  <->  z  =  [_ R  / 
s ]_ N ) )
6963, 68bitrd 256 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ps )  ->  ( A. s  e.  A  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ph )  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   [_csb 3395   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   joincjn 16188   meetcmee 16189   0.cp0 16282   OLcol 32709   Atomscatm 32798   HLchlt 32885   LHypclh 33518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-lat 16291  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-lhyp 33522
This theorem is referenced by:  cdlemefrs29bpre1  33933  cdlemefrs32fva  33936  cdlemefr29bpre0N  33942  cdlemefs29bpre0N  33952
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