Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemefrs29bpre0 Unicode version
Theorem cdlemefrs29bpre0 30878
Description: TODO fix comment. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs27.b |- B = ( Base ` K )
cdlemefrs27.l |- .<_ = ( le ` K )
cdlemefrs27.j |- .\/ = ( join ` K )
cdlemefrs27.m |- ./\ = ( meet ` K )
cdlemefrs27.a |- A = ( Atoms ` K )
cdlemefrs27.h |- H = ( LHyp ` K )
cdlemefrs27.eq |- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
cdlemefrs27.nb |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs29bpre0 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
Distinct variable groups:   z, s   A, s   H, s   .\/ , s   K, s   .<_ , s   P, s   Q, s   R, s   W, s   ps, s
Allowed substitution hints:   ph( z, s)   ps( z)   A( z)   B( z, s)   P( z)   Q( z)   R( z)   H( z)   .\/ ( z)   K( z)   .<_ ( z)   ./\ ( z, s)   N( z, s)   W( z)
Proof of Theorem cdlemefrs29bpre0
StepHypRef Expression
1 df-ral 2671 . . 3 |- ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> A. s ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
2 anass 631 . . . . . . 7 |- ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) <-> ( s e. A /\ ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) )
32imbi1i 316 . . . . . 6 |- ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) )
4 impexp 434 . . . . . 6 |- ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
5 impexp 434 . . . . . 6 |- ( ( ( s e. A /\ ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
63, 4, 53bitr3ri 268 . . . . 5 |- ( ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
7 simpl11 1032 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
9 cdlemefrs27.l . . . . . . . . . . . . 13 |- .<_ = ( le ` K )
10 cdlemefrs27.m . . . . . . . . . . . . 13 |- ./\ = ( meet ` K )
11 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
12 cdlemefrs27.a . . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( Atoms ` K )
13 cdlemefrs27.h . . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( LHyp ` K )
149, 10, 11, 12, 13lhpmat 30512 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
157, 8, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
1615oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = ( s .\/ ( 0. ` K ) ) )
17 simp11l 1068 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> K e. HL )
18 hlol 29844 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. HL -> K e. OL )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> K e. OL )
2019adantr 452 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> K e. OL )
21 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> s e. A )
22 cdlemefrs27.b . . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` K )
2322, 12atbase 29772 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. A -> s e. B )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> s e. B )
25 cdlemefrs27.j . . . . . . . . . . . 12 |- .\/ = ( join ` K )
2622, 25, 11olj01 29708 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OL /\ s e. B ) -> ( s .\/ ( 0. ` K ) ) = s )
2720, 24, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( s .\/ ( 0. ` K ) ) = s )
2816, 27eqtrd 2436 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = s )
2928eqeq1d 2412 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R <-> s = R ) )
3015oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( N .\/ ( R ./\ W ) ) = ( N .\/ ( 0. ` K ) ) )
31 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
32 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> P =/= Q )
33 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( -. s .<_ W /\ ph ) )
34 cdlemefrs27.nb . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
3531, 32, 21, 33, 34syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
3622, 25, 11olj01 29708 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OL /\ N e. B ) -> ( N .\/ ( 0. ` K ) ) = N )
3720, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( N .\/ ( 0. ` K ) ) = N )
3830, 37eqtrd 2436 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( N .\/ ( R ./\ W ) ) = N )
3938eqeq2d 2415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) <-> z = N ) )
4029, 39imbi12d 312 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( s = R -> z = N ) ) )
4140pm5.74da 669 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( s = R -> z = N ) ) ) )
42 impexp 434 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) -> z = N ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( s = R -> z = N ) ) )
43 eqcom 2406 . . . . . . . . 9 |- ( z = N <-> N = z )
4443imbi2i 304 . . . . . . . 8 |- ( ( s = R -> z = N ) <-> ( s = R -> N = z ) )
45 simp2rl 1026 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> R e. A )
46 simp2rr 1027 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> -. R .<_ W )
47 simp3 959 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ps )
48 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = R -> ( s e. A <-> R e. A ) )
49 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = R -> ( s .<_ W <-> R .<_ W ) )
5049notbid 286 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = R -> ( -. s .<_ W <-> -. R .<_ W ) )
51 cdlemefrs27.eq . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
5250, 51anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = R -> ( ( -. s .<_ W /\ ph ) <-> ( -. R .<_ W /\ ps ) ) )
5348, 52anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = R -> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) <-> ( R e. A /\ ( -. R .<_ W /\ ps ) ) ) )
5453biimprcd 217 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. A /\ ( -. R .<_ W /\ ps ) ) -> ( s = R -> ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) )
5545, 46, 47, 54syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( s = R -> ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) )
5655pm4.71rd 617 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( s = R <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) ) )
5756imbi1d 309 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( s = R -> z = N ) <-> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) -> z = N ) ) )
5844, 57syl5rbbr 252 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) -> z = N ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
5942, 58syl5bbr 251 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( s = R -> z = N ) ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
6041, 59bitrd 245 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
616, 60syl5bb 249 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
6261albidv 1632 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> A. s ( s = R -> N = z ) ) )
631, 62syl5bb 249 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> A. s ( s = R -> N = z ) ) )
64 nfcv 2540 . . . . 5 |- F/_ s z
6564csbiebg 3250 . . . 4 |- ( R e. A -> ( A. s ( s = R -> N = z ) <-> [_ R / s ]_ N = z ) )
6645, 65syl 16 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s ( s = R -> N = z ) <-> [_ R / s ]_ N = z ) )
67 eqcom 2406 . . 3 |- ( [_ R / s ]_ N = z <-> z = [_ R / s ]_ N )
6866, 67syl6bb 253 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s ( s = R -> N = z ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
6963, 68bitrd 245 1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   [_csb 3211   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   meetcmee 14357   0.cp0 14421   OLcol 29657   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466
This theorem is referenced by:  cdlemefrs29bpre1  30879  cdlemefrs32fva  30882  cdlemefr29bpre0N  30888  cdlemefs29bpre0N  30898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-lhyp 30470
  Copyright terms: Public domain W3C validator