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Theorem cdlemefrs29bpre0 34034
Description: TODO fix comment. (Contributed by NM, 29-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefrs27.b |- B = ( Base ` K )
cdlemefrs27.l |- .<_ = ( le ` K )
cdlemefrs27.j |- .\/ = ( join ` K )
cdlemefrs27.m |- ./\ = ( meet ` K )
cdlemefrs27.a |- A = ( Atoms ` K )
cdlemefrs27.h |- H = ( LHyp ` K )
cdlemefrs27.eq |- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
cdlemefrs27.nb |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
Assertion
Ref Expression
cdlemefrs29bpre0 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
Distinct variable groups:   z, s   A, s   H, s   .\/ , s   K, s   .<_ , s   P, s   Q, s   R, s   W, s   ps, s
Allowed substitution hints:   ph( z, s)   ps( z)   A( z)   B( z, s)   P( z)   Q( z)   R( z)   H( z)   .\/ ( z)   K( z)   .<_ ( z)   ./\ ( z, s)   N( z, s)   W( z)
Proof of Theorem cdlemefrs29bpre0
StepHypRef Expression
1 df-ral 2761 . . 3 |- ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> A. s ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
2 anass 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) <-> ( s e. A /\ ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) )
32imbi1i 332 . . . . . 6 |- ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) )
4 impexp 453 . . . . . 6 |- ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
5 impexp 453 . . . . . 6 |- ( ( ( s e. A /\ ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
63, 4, 53bitr3ri 284 . . . . 5 |- ( ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) )
7 simpl11 1105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 simpl2r 1084 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
9 cdlemefrs27.l . . . . . . . . . . . . 13 |- .<_ = ( le ` K )
10 cdlemefrs27.m . . . . . . . . . . . . 13 |- ./\ = ( meet ` K )
11 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
12 cdlemefrs27.a . . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( Atoms ` K )
13 cdlemefrs27.h . . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( LHyp ` K )
149, 10, 11, 12, 13lhpmat 33666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
157, 8, 14syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( R ./\ W ) = ( 0. ` K ) )
1615oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = ( s .\/ ( 0. ` K ) ) )
17 simp11l 1141 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> K e. HL )
18 hlol 32998 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. HL -> K e. OL )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> K e. OL )
2019adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> K e. OL )
21 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> s e. A )
22 cdlemefrs27.b . . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` K )
2322, 12atbase 32926 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. A -> s e. B )
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> s e. B )
25 cdlemefrs27.j . . . . . . . . . . . 12 |- .\/ = ( join ` K )
2622, 25, 11olj01 32862 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OL /\ s e. B ) -> ( s .\/ ( 0. ` K ) ) = s )
2720, 24, 26syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( s .\/ ( 0. ` K ) ) = s )
2816, 27eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = s )
2928eqeq1d 2473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R <-> s = R ) )
3015oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( N .\/ ( R ./\ W ) ) = ( N .\/ ( 0. ` K ) ) )
31 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
32 simpl2l 1083 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> P =/= Q )
33 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( -. s .<_ W /\ ph ) )
34 cdlemefrs27.nb . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
3531, 32, 21, 33, 34syl112anc 1296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
3622, 25, 11olj01 32862 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. OL /\ N e. B ) -> ( N .\/ ( 0. ` K ) ) = N )
3720, 35, 36syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( N .\/ ( 0. ` K ) ) = N )
3830, 37eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( N .\/ ( R ./\ W ) ) = N )
3938eqeq2d 2481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) <-> z = N ) )
4029, 39imbi12d 327 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> ( ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( s = R -> z = N ) ) )
4140pm5.74da 701 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( s = R -> z = N ) ) ) )
42 impexp 453 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) -> z = N ) <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( s = R -> z = N ) ) )
43 eqcom 2478 . . . . . . . . 9 |- ( z = N <-> N = z )
4443imbi2i 319 . . . . . . . 8 |- ( ( s = R -> z = N ) <-> ( s = R -> N = z ) )
45 simp2rl 1099 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> R e. A )
46 simp2rr 1100 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> -. R .<_ W )
47 simp3 1032 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ps )
48 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = R -> ( s e. A <-> R e. A ) )
49 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = R -> ( s .<_ W <-> R .<_ W ) )
5049notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = R -> ( -. s .<_ W <-> -. R .<_ W ) )
51 cdlemefrs27.eq . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
5250, 51anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = R -> ( ( -. s .<_ W /\ ph ) <-> ( -. R .<_ W /\ ps ) ) )
5348, 52anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = R -> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) <-> ( R e. A /\ ( -. R .<_ W /\ ps ) ) ) )
5453biimprcd 233 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. A /\ ( -. R .<_ W /\ ps ) ) -> ( s = R -> ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) )
5545, 46, 47, 54syl12anc 1290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( s = R -> ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) )
5655pm4.71rd 647 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( s = R <-> ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) ) )
5756imbi1d 324 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( s = R -> z = N ) <-> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) -> z = N ) ) )
5844, 57syl5rbbr 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) /\ s = R ) -> z = N ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
5942, 58syl5bbr 267 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( s = R -> z = N ) ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
6041, 59bitrd 261 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) -> ( ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
616, 60syl5bb 265 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> ( s = R -> N = z ) ) )
6261albidv 1775 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s ( s e. A -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) <-> A. s ( s = R -> N = z ) ) )
631, 62syl5bb 265 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> A. s ( s = R -> N = z ) ) )
64 nfcv 2612 . . . . 5 |- F/_ s z
6564csbiebg 3372 . . . 4 |- ( R e. A -> ( A. s ( s = R -> N = z ) <-> [_ R / s ]_ N = z ) )
6645, 65syl 17 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s ( s = R -> N = z ) <-> [_ R / s ]_ N = z ) )
67 eqcom 2478 . . 3 |- ( [_ R / s ]_ N = z <-> z = [_ R / s ]_ N )
6866, 67syl6bb 269 . 2 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s ( s = R -> N = z ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
6963, 68bitrd 261 1 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   [_csb 3349   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   lecple 15275   joincjn 16267   meetcmee 16268   0.cp0 16361   OLcol 32811   Atomscatm 32900   HLchlt 32987   LHypclh 33620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-lat 16370  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-lhyp 33624
This theorem is referenced by:  cdlemefrs29bpre1  34035  cdlemefrs32fva  34038  cdlemefr29bpre0N  34044  cdlemefs29bpre0N  34054
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