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Theorem cdlemefr29exN 33938
Description: Lemma for cdlemefs29bpre1N 33953. (Compare cdleme25a 33889.) TODO: FIX COMMENT TODO: IS THIS NEEDED? (Contributed by NM, 28-Mar-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemefr29.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemefr29.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemefr29.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemefr29.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemefr29.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemefr29.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
cdlemefr29exN  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    H, s    K, s    .<_ , s    ./\ , s    P, s    Q, s    W, s    X, s
Allowed substitution hints:    C( s)    .\/ ( s)

Proof of Theorem cdlemefr29exN
StepHypRef Expression
1 simp11 1035 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2r 1032 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
3 cdlemefr29.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cdlemefr29.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemefr29.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemefr29.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 cdlemefr29.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 cdlemefr29.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 33558 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )
101, 2, 9syl2anc 665 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  (
s  .\/  ( X  ./\ 
W ) )  =  X ) )
11 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ s ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
12 nfv 1755 . . . 4  |-  F/ s ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
13 nfra1 2803 . . . 4  |-  F/ s A. s  e.  A  C  e.  B
1411, 12, 13nf3an 1990 . . 3  |-  F/ s ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )
15 simp11l 1116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  K  e.  HL )
1615adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
17 hllat 32898 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
19 simpl3 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  A. s  e.  A  C  e.  B )
20 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  s  e.  A )
21 rsp 2788 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  A  C  e.  B  ->  ( s  e.  A  ->  C  e.  B ) )
2219, 20, 21sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  C  e.  B )
2315, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
24 simp2rl 1074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  X  e.  B )
25 simp11r 1117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  W  e.  H )
263, 8lhpbase 33532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  W  e.  B )
283, 6latmcl 16297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
3029adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
313, 5latjcl 16296 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  C  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  -> 
( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B )
3218, 22, 30, 31syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( C  .\/  ( X  ./\  W
) )  e.  B
)
3332expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  ( -.  s  .<_  W  -> 
( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B ) )
3433adantrd 469 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( C  .\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B ) )
3534ancld 555 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) ) )
3635ex 435 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  (
s  e.  A  -> 
( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) ) ) )
3714, 36reximdai 2891 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  ( E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C 
.\/  ( X  ./\  W ) )  e.  B
) ) )
3810, 37mpd 15 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  A. s  e.  A  C  e.  B )  ->  E. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )  /\  ( C  .\/  ( X 
./\  W ) )  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   joincjn 16188   meetcmee 16189   Latclat 16290   Atomscatm 32798   HLchlt 32885   LHypclh 33518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-p1 16285  df-lat 16291  df-clat 16353  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-lhyp 33522
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