Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme9 Structured version   Unicode version

Theorem cdleme9 33251
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 2nd paragraph on p. 114.  C and  F represent s1 and f(s) respectively. In their notation, we prove f(s)  \/ s1 = q  \/ s1. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme9.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme9.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme9.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme9.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme9.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme9.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme9.c  |-  C  =  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( F  .\/  C )  =  ( Q  .\/  C
) )

Proof of Theorem cdleme9
StepHypRef Expression
1 cdleme9.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdleme9.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 cdleme9.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 cdleme9.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 cdleme9.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdleme9.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
7 cdleme9.f . . . 4  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
8 cdleme9.c . . . 4  |-  C  =  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdleme3d 33229 . . 3  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )
109oveq1i 6287 . 2  |-  ( F 
.\/  C )  =  ( ( ( S 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )
11 simp1l 1021 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  HL )
12 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 simp21 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
14 simp23l 1118 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  S  e.  A )
15 hllat 32361 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1611, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1817, 4atbase 32287 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
1914, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
20 simp21l 1114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  e.  A )
2117, 4atbase 32287 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2220, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
23 simp22 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  Q  e.  A )
2417, 4atbase 32287 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
26 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )
2717, 1, 2latnlej1l 16021 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  S  =/=  P )
2827necomd 2674 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  =/=  S )
2916, 19, 22, 25, 26, 28syl131anc 1243 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  =/=  S )
301, 2, 3, 4, 5, 8cdleme9a 33249 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  P  =/=  S ) )  ->  C  e.  A
)
3112, 13, 14, 29, 30syl112anc 1234 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  e.  A )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 17cdleme0aa 33208 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
3312, 20, 23, 32syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  U  e.  ( Base `  K
) )
3417, 2latjcl 16003 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( S  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
3516, 19, 33, 34syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  U )  e.  ( Base `  K
) )
3617, 2, 4hlatjcl 32364 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  C  e.  A )  ->  ( Q  .\/  C
)  e.  ( Base `  K ) )
3711, 23, 31, 36syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  C )  e.  ( Base `  K
) )
381, 2, 4hlatlej2 32373 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  C  e.  A )  ->  C  .<_  ( Q  .\/  C ) )
3911, 23, 31, 38syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  .<_  ( Q  .\/  C
) )
4017, 1, 2, 3, 4atmod4i1 32863 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( C  e.  A  /\  ( S  .\/  U
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( Q  .\/  C )  e.  ( Base `  K
) )  /\  C  .<_  ( Q  .\/  C
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )  =  ( ( ( S  .\/  U
)  .\/  C )  ./\  ( Q  .\/  C
) ) )
4111, 31, 35, 37, 39, 40syl131anc 1243 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )  =  ( ( ( S  .\/  U
)  .\/  C )  ./\  ( Q  .\/  C
) ) )
4217, 2, 4hlatjcl 32364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( P  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
4311, 20, 14, 42syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
44 simp1r 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  W  e.  H )
4517, 5lhpbase 32995 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
471, 2, 4hlatlej2 32373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  S  .<_  ( P  .\/  S ) )
4811, 20, 14, 47syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  S
) )
4917, 1, 2, 3, 4atmod3i1 32861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  e.  A  /\  ( P  .\/  S
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  S  .<_  ( P  .\/  S
) )  ->  ( S  .\/  ( ( P 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  ./\  ( S  .\/  W ) ) )
5011, 14, 43, 46, 48, 49syl131anc 1243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  ( ( P 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  ./\  ( S  .\/  W ) ) )
51 simp23r 1119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  S  .<_  W )
52 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
531, 2, 52, 4, 5lhpjat2 33018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  -> 
( S  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
5412, 14, 51, 53syl12anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  W )  =  ( 1. `  K
) )
5554oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  ( S  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  S )  ./\  ( 1. `  K ) ) )
56 hlol 32359 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
5711, 56syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  K  e.  OL )
5817, 3, 52olm11 32225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  S
) )
5957, 43, 58syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  S
) )
6050, 55, 593eqtrrd 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  S )  =  ( S  .\/  (
( P  .\/  S
)  ./\  W )
) )
618oveq2i 6288 . . . . . . 7  |-  ( S 
.\/  C )  =  ( S  .\/  (
( P  .\/  S
)  ./\  W )
)
6260, 61syl6reqr 2462 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( S  .\/  C )  =  ( P  .\/  S
) )
6362oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( S  .\/  C
)  .\/  U )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  U ) )
6417, 4atbase 32287 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  ( Base `  K
) )
6531, 64syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  e.  ( Base `  K
) )
6617, 2latj32 16049 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  C  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( S  .\/  U )  .\/  C )  =  ( ( S 
.\/  C )  .\/  U ) )
6716, 19, 33, 65, 66syl13anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( S  .\/  U
)  .\/  C )  =  ( ( S 
.\/  C )  .\/  U ) )
682, 4hlatj32 32369 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  S  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
6911, 20, 14, 23, 68syl13anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  .\/  Q )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
7017, 2latjcom 16011 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  .\/  Q )
)
7116, 25, 43, 70syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  .\/  Q )
)
726oveq2i 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( P 
.\/  U )  =  ( P  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  W )
)
7317, 2, 4hlatjcl 32364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
7411, 20, 23, 73syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
751, 2, 4hlatlej1 32372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7611, 20, 23, 75syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )
7717, 1, 2, 3, 4atmod3i1 32861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  P  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
7811, 20, 74, 46, 76, 77syl131anc 1243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q
)  ./\  ( P  .\/  W ) ) )
791, 2, 52, 4, 5lhpjat2 33018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  -> 
( P  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
8012, 13, 79syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  W )  =  ( 1. `  K
) )
8180oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( P  .\/  W ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( 1. `  K ) ) )
8217, 3, 52olm11 32225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
8357, 74, 82syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
8478, 81, 833eqtrd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  W ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
8572, 84syl5eq 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( P  .\/  U )  =  ( P  .\/  Q
) )
8685oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  S ) )
8769, 71, 863eqtr4d 2453 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  U
)  .\/  S )
)
8817, 2latj32 16049 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  U )  .\/  S )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  U ) )
8916, 22, 33, 19, 88syl13anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( P 
.\/  S )  .\/  U ) )
9087, 89eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  =  ( ( P  .\/  S
)  .\/  U )
)
9163, 67, 903eqtr4d 2453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( S  .\/  U
)  .\/  C )  =  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) ) )
9291oveq1d 6292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  .\/  C ) 
./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) ) 
./\  ( Q  .\/  C ) ) )
9317, 1, 3latmle1 16028 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  S ) )
9416, 43, 46, 93syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( P  .\/  S
)  ./\  W )  .<_  ( P  .\/  S
) )
958, 94syl5eqbr 4427 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  C  .<_  ( P  .\/  S
) )
9617, 1, 2latjlej2 16018 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( C  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  Q  e.  ( Base `  K )
) )  ->  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  ->  ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q 
.\/  ( P  .\/  S ) ) ) )
9716, 65, 43, 25, 96syl13anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  ->  ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q 
.\/  ( P  .\/  S ) ) ) )
9895, 97mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q  .\/  ( P 
.\/  S ) ) )
9917, 2latjcl 16003 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  e.  (
Base `  K )
)
10016, 25, 43, 99syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  e.  (
Base `  K )
)
10117, 1, 3latleeqm2 16032 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  C )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  ( P  .\/  S
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( Q  .\/  C )  .<_  ( Q  .\/  ( P 
.\/  S ) )  <-> 
( ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( Q  .\/  C
) ) )
10216, 37, 100, 101syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( Q  .\/  C
)  .<_  ( Q  .\/  ( P  .\/  S ) )  <->  ( ( Q 
.\/  ( P  .\/  S ) )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( Q  .\/  C ) ) )
10398, 102mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( Q  .\/  ( P  .\/  S ) ) 
./\  ( Q  .\/  C ) )  =  ( Q  .\/  C ) )
10441, 92, 1033eqtrd 2447 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  (
( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  C ) )  .\/  C )  =  ( Q 
.\/  C ) )
10510, 104syl5eq 2455 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( F  .\/  C )  =  ( Q  .\/  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   lecple 14914   joincjn 15895   meetcmee 15896   1.cp1 15990   Latclat 15997   OLcol 32172   Atomscatm 32261   HLchlt 32348   LHypclh 32981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-p1 15992  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-psubsp 32500  df-pmap 32501  df-padd 32793  df-lhyp 32985
This theorem is referenced by:  cdleme9tN  33255  cdleme17a  33284
  Copyright terms: Public domain W3C validator