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Theorem cdleme48bw 34038
Description: TODO: fix comment. TODO: Remove unnecessary  P  =/=  Q from cdleme48bw 34038 cdlemeg46c 34049 cdlemeg46fvaw 34052 cdlemeg46rgv 34064 cdlemeg46gfv 34066? cdleme48d 34071? and possibly others they affect. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemef46.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemef46.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemef46.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemef46.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemef46.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemef46.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdlemef46.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemefs46.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdlemef46.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme48bw  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  -.  ( F `  X )  .<_  W )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z    D, s, x, y, z   
x, E, y, z    H, s, t, x, y, z    .\/ , s, t, x, y, z    K, s, t, x, y, z    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s, t, x, y, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    S, s, t, x, y, z    X, s, t, x, z
Allowed substitution hints:    D( t)    E( t, s)    F( x, y, z, t, s)    X( y)

Proof of Theorem cdleme48bw
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
2 simp3l 1033 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
3 cdlemef46.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cdlemef46.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 cdlemef46.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 cdlemef46.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 cdlemef46.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 cdlemef46.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 cdlemef46.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
10 cdlemef46.d . . . . 5  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
11 cdlemefs46.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
12 cdlemef46.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  ( iota_ z  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) ) ,  x ) )
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdleme46fvaw 34037 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  S )  e.  A  /\  -.  ( F `  S )  .<_  W ) )
141, 2, 13syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( F `  S )  e.  A  /\  -.  ( F `  S )  .<_  W ) )
1514simprd 464 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  -.  ( F `  S )  .<_  W )
16 simp11l 1116 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  HL )
17 hllat 32898 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  K  e.  Lat )
1914simpld 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  S )  e.  A
)
203, 7atbase 32824 . . . . . 6  |-  ( ( F `  S )  e.  A  ->  ( F `  S )  e.  B )
2119, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  S )  e.  B
)
22 simp2rl 1074 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  X  e.  B )
23 simp11r 1117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  H )
243, 8lhpbase 33532 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2523, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  W  e.  B )
263, 6latmcl 16297 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
2718, 22, 25, 26syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( X  ./\ 
W )  e.  B
)
283, 4, 5latlej1 16305 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  S )  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  ->  ( F `  S )  .<_  ( ( F `  S )  .\/  ( X  ./\  W ) ) )
2918, 21, 27, 28syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  S )  .<_  ( ( F `  S ) 
.\/  ( X  ./\  W ) ) )
303, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdleme48fv 34035 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  X )  =  ( ( F `  S
)  .\/  ( X  ./\ 
W ) ) )
3129, 30breqtrrd 4450 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  S )  .<_  ( F `
 X ) )
32 vex 3083 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
33 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  .\/  U ) 
./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
3410, 33cdleme31sc 33920 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  _V  ->  [_ s  /  t ]_ D  =  ( ( s 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s ) 
./\  W ) ) ) )
3532, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  [_ s  /  t ]_ D  =  ( ( s 
.\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s ) 
./\  W ) ) )
36 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) )  =  (
iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
37 eqid 2422 . . . . . 6  |-  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  (
iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) ) , 
[_ s  /  t ]_ D )  =  if ( s  .<_  ( P 
.\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) ) , 
[_ s  /  t ]_ D )
38 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( iota_ z  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  (
x  ./\  W )
)  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) )  =  ( iota_ z  e.  B  A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  (
x  ./\  W )
)  =  x )  ->  z  =  ( if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  ( iota_ y  e.  B  A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  E ) ) ,  [_ s  /  t ]_ D
)  .\/  ( x  ./\ 
W ) ) ) )
393, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 35, 10, 11, 36, 37, 38, 12cdleme32fvcl 33976 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  B )
401, 22, 39syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( F `  X )  e.  B
)
413, 4lattr 16301 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  S )  e.  B  /\  ( F `  X
)  e.  B  /\  W  e.  B )
)  ->  ( (
( F `  S
)  .<_  ( F `  X )  /\  ( F `  X )  .<_  W )  ->  ( F `  S )  .<_  W ) )
4218, 21, 40, 25, 41syl13anc 1266 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( (
( F `  S
)  .<_  ( F `  X )  /\  ( F `  X )  .<_  W )  ->  ( F `  S )  .<_  W ) )
4331, 42mpand 679 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  ( ( F `  X )  .<_  W  ->  ( F `  S )  .<_  W ) )
4415, 43mtod 180 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( S  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X ) )  ->  -.  ( F `  X )  .<_  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   _Vcvv 3080   [_csb 3395   ifcif 3911   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601   iota_crio 6266  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   lecple 15196   joincjn 16188   meetcmee 16189   Latclat 16290   Atomscatm 32798   HLchlt 32885   LHypclh 33518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-riotaBAD 32494
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-undef 7031  df-preset 16172  df-poset 16190  df-plt 16203  df-lub 16219  df-glb 16220  df-join 16221  df-meet 16222  df-p0 16284  df-p1 16285  df-lat 16291  df-clat 16353  df-oposet 32711  df-ol 32713  df-oml 32714  df-covers 32801  df-ats 32802  df-atl 32833  df-cvlat 32857  df-hlat 32886  df-llines 33032  df-lplanes 33033  df-lvols 33034  df-lines 33035  df-psubsp 33037  df-pmap 33038  df-padd 33330  df-lhyp 33522
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